Tasti di scelta rapida (Alt+Fx)

Con questo post inauguro la sezione del blog dedicata a raccogliere le combinazioni di tasti (MS-DOS, UNIX, etc) che mi capita spesso utilizzare e dei quali voglio tenere memoria.

Probabilità – Lez012 (teoria ed esempi semplici)

Si introduce, adesso, il concetto di variabile casuale partendo dal caso più semplice ad una dimensione.

Dato lo Spazio Probabilistico dove è lo spazio campionario dell’esperimento casuale osservato, lo spazio degli eventi su cui è definita l’algebra degli eventi generata da e la probabilità definita sugli elementi dello spazio degli eventi:

Variabile Casuale (Aleatoria o Stocastica) ad una dimensione (Univariata o Unidimensionale o Semplice): è la funzione che ad ogni punto dello spazio campionario , associa uno ed un solo numero reale tale che sia vera la condizione (cioé, è un evento).

Probabilità – Lez011 (teoria ed esempi semplici)

Si inizia questa lezione introducendo il concetto di eventi indipendenti .

Eventi Indipendenti: due eventi ( già verificato) appartenenti all’insieme delle parti di , si dicono indipendenti, se la probabilità che l’evento si realizzi, non è condizionata dall’evento già verificato. In simboli, :

in poche parole, la probabilità condizionata di dato , è ancora uguale alla probabilità di .

N.B.: quando vale il contrario , ovviamente, si parla di eventi dipendenti.

Probabilità – Lez010 (teoria ed esempi semplici)

Ennesimo risultato derivato dal principio delle probabilità condizionate (oltre al principio delle probabilità composte ed alla formula della probabilità marginale) è il Teorema di Bayes.

Quest’ultimo si rivela fondamentale in Probabilità, in quanto consente di correggere le ipotesi a priori su un fenomeno oggetto di studio, ottenendo delle ipotesi a posteriori più complete.

Teorema di Bayes: sia uno spazio campionario e la sua partizione tale che:

• sia
• (con ) sia
• (con ) sia

Inoltre, sia un qualunque sottoinsieme proprio dello spazio campionario .

Probabilità – Lez09 (teoria ed esempi semplici)

Prima di analizzare la formula della probabilità marginale (ennesima derivabile dal principio delle probabilità condizionate), ecco una piccola parentesi sul partizionamento di uno spazio campionario.

Partizione (di uno spazio campionario ): una famiglia di sottoinsiemi dello spazio campionario , quindi un sottoinsieme dello spazio degli eventi , si dice Partizione di e si denota con , se valgono le seguenti proprietà:

1. ogni sottoinsieme della famiglia è non impossibile; in simboli, :

2. l’intersezione a due a due dei sottoinsiemi della famiglia è impossibile; in simboli,  :

in parole povere, i sottoinsiemi della famiglia sono a due a due incompatibili (o mutualmente esclusivi).

3. l’unione di tutti i sottoinsiemi della famiglia genera l’intero spazio campionario; in simboli, :

cioè, i sottoinsiemi della famiglia sono esaustivi.

Probabilità – Lez08 (teoria ed esempi semplici)

Principio delle probabilità condizionate: dati due eventi ( già verificato) appartenenti all’insieme delle parti di , la probabilità condizionata è pari al rapporto tra la corrispondente probabilità congiunta e la probabilità marginale dell’evento condizionante. In simboli, e con :

N.B.: per la probabilità condizionata NON vale la seguente uguaglianza: . Difatti, assumendo E₁ come evento condizionante, si ha:

mentre per evento condizionante:

Probabilità – Lez07 (teoria ed esempi semplici)

Definizione Assiomatica: è la funzione che ad ogni elemento dello spazio degli eventi (o insieme delle parti di ) associa uno ed un solo numero reale compreso tra zero ed uno. In simboli, :

Attenzione: si ribadisce, ancora una volta, il fatto che l’insieme delle parti di (o spazio degli eventi) non deve essere assolutamente confuso con il concetto di probabilità dell’evento certo, sebbene l’uso (in queste pagine) della medesima simbologia.

per la quale (funzione) siano veri i seguenti postulati:

1. la probabilità che un qualunque evento appartenente all’insieme delle parti di si realizzi, è maggiore uguale a zero; in simboli, :

2. la probabilità dell’evento certo è pari all’unità; in simboli, :

3. il principio delle probabilità totali per eventi incompatibili: dati n eventi incompatibili tali cioè che la loro intersezione è impossibile a due a due (in simboli: e con ), la probabilità della loro unione è pari alla somma delle singole probabilità marginali*; in simboli, :

Probabilità – Lez06 (teoria ed esempi semplici)

Nel corso degli anni, sono state formulate numerose definizioni di probabilità; tra le più note:

1. classica
2. frequentista o statistica
3. soggettiva
4. assiomatica

Le prime tre puntano a chiarire i contenuti semantici; sono adatte a risolvere problemi reali e nel corso degli anni, hanno ricevuto numerose critiche.

L’ultima, invece, è stata universalmente accettata dagli studiosi, sicuramente in quanto punta a chiarire contenuti sintattici sui quali non è difficile trovarsi daccordo. La definizione assiomatica è poco adatta a risolvere problemi reali, ma è perfetta per gli sviluppi teorici.

Probabilità – Lez05 (teoria ed esempi semplici)

Si riprende ora il discorso relativo alle leggi di De Morgan lasciato precedentemente in sospeso.
La loro importanza deriva dal fatto che, applicate alla Intersezione ed alla Negazione, consentono di ricavare l’Unione e la Differenza.

:

Probabilità – Lez04 (teoria ed esempi semplici)

3. INTERSEZIONE

Evento intersezione: dati due eventi appartenenti all’insieme delle parti di , si dice evento intersezione tra e si scrive , l’evento che si verifica se si realizzano contemporaneamente sia che . In simboli, :

Evento intersezione

(si legge: “l’evento intersezione tra , è l’insieme dei punti campionari che appartengono contemporaneamente sia ad che ad .”)

N.B.: si dicono anche compatibili.