I momenti principali sono tre:

1. rispetto all’origine
2. rispetto alla media
3. standardizzato

In questo post, si analizzerà il momento standardizzato, partendo dal caso più generico, per poi passare allo studio di alcuni suoi casi particolari.

Data la variabile casuale semplice con funzione di ripartizione e trasformata ,

Momento standardizzato di ordine r (o momento r-esimo standardizzato): è la quantità così definita, in simboli:

Di seguito i casi particolari del valore atteso appena definito e relative verifiche.

Data la variabile casuale semplice con funzione di ripartizione e trasformata ,

Momento standardizzato di ordine 0 (o momento 0-esimo standardizzato): è la quantità così definita, in simboli:

Verifica1: ovviamente le potenze con esponente zero sono pari all’unità, pertanto, le suddette formule diventano:

ma, la sommatoria e l’integrale restanti sono entrambi pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli: e

In conclusione, sia nel discreto che nel continuo il momento rispetto alla media di ordine è uguale ad .

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà secondo la quale il valore atteso di una costante è pari alla costante stessa; in simboli:

Momento standardizzato di ordine 1 (o momento 1-esimo standardizzato): è la quantità così definita, in simboli:

Verifica1: si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante:

poi, applicando le proprietà di sommatoria e di integrazione, le suddette formule diventano:

la media si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante, pertanto le formule diventano:

la seconda sommatoria ed il secondo integrale si riducono all’unità per le proprietà di cui godono la PMF e la PDF, in simboli:

la prima sommatoria ed il primo integrale sono pari per le definizioni viste nella lezione precedente al momento rispetto all’origine di ordine uno (cioé, alla media) pertanto, in simboli:

che sono pari a zero sia nel discreto che nel continuo, in simboli:

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

applicando la sopracitata proprietà, si ottiene:

il primo valore atteso è pari alla media (o momento rispetto all’origine di ordine ) mentre il secondo è uguale alla stessa costante; in simboli:

Momento standardizzato di ordine 2 (o momento 2-esimo standardizzato ): è la quantità così definita, in simboli:

Verifica1: si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante:

sviluppando i quadrati dei binomi ed applicando le proprietà di sommatoria e di integrazione, le suddette formule diventano:

ma, la terza sommatoria ed il terzo integrale sono pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli:

mentre, la prima sommatoria ed il primo integrale determinano il momento rispetto all’origine di ordine ed invece, la seconda sommatoria e il secondo integrale, la media; in simboli:

infine, risolvendo le somme si ottiene al numeratore (sia nel discreto che nel continuo) la varianza la quale semplificata con il denominatore determina l’unità:

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

si può estrarre dal valore atteso in quanto costante:

sviluppando il quadrato del binomio, si ottiene:

ed ancora, applicando la suddetta proprietà di linearità,

dove, il primo valore atteso coincide con il momento rispetto all’origine di ordine mentre il secondo, con la media; in simboli:

Momento standardizzato di ordine 3 (o momento 3-esimo standardizzato o asimmetria): è la quantità così definita, in simboli:

N.B.: l’asimmetria è il terzo indice di sintetizzazione cercato: in particolare, è misura della simmetria (come suggerisce la stessa parola) della distribuzione di una variabile casuale rispetto alla media. Si denota con .Si possono presentare i seguenti casi:

• : la distribuzione (della variabile casuale) si dice positivamente asimmetrica rispetto alla media
• : la distribuzione (della variabile casuale) si dice negativamente asimmetrica rispetto alla media
• : la distribuzione (della variabile casuale) si dice simmetrica rispetto alla media

Verifica1: si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante:

sviluppando i cubi dei binomi ed applicando le proprietà della sommatoria e dell’integrale, le suddette formule diventano:

ed ancora,

ma, la quarta sommatoria ed il quarto integrale sono pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli:

dove, la prima sommatoria ed il primo integrale determinano il momento rispetto all’origine di ordine , la seconda sommatoria e il secondo integrale, il momento rispetto all’origine di ordine ed infine, la terza sommatoria ed il terzo integrale, la media; in simboli:

infine, risolvendo le somme si ottiene al numeratore (sia nel discreto che nel continuo) il momento rispetto alla media di ordine :

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

si può estrarre dal valore atteso in quanto costante:

sviluppando il cubo del binomio, si ottiene:

ed ancora, applicando la suddetta proprietà di linearità,

dove, il primo valore atteso coincide con il momento rispetto all’origine di ordine , mentre il secondo con il momento rispetto all’origine di ordine ed infine il terzo, con la media; in simboli:

ma la quantità al numeratore non è altro che il momento rispetto alla media di ordine , pertanto, in simboli:

Momento standardizzato di ordine 4 (o momento 4-esimo standardizzato o asimmetria): è la quantità così definita, in simboli:

N.B.: la curtosi è il quarto indice di sintetizzazione cercato: in particolare, è misura della curtosi, cioé del grado di appiattimento della distribuzione di una variabile casuale rispetto alla distribuzione normale**. Si denota con . Si possono presentare i seguenti casi:

• : la distribuzione (della variabile casuale) si dice leptocurtica
• : la distribuzione (della variabile casuale) si dice platicurtica
• : la distribuzione (della variabile casuale) è la normale

Verifica1: si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante:

sviluppando i binomi alla quarta ed applicando le proprietà della sommatoria e dell’integrale, le suddette formule diventano:

ed ancora,

ma, la quinta sommatoria ed il quinto integrale sono pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli:

dove, la prima sommatoria ed il primo integrale determinano il momento rispetto all’origine di ordine , la seconda sommatoria e il secondo integrale, il momento rispetto all’origine di ordine , la terza sommatoria ed il terzo integrale, il momento rispetto all’origine di ordine ed infine, la quarta sommatoria ed il quarto integrale, la media; in simboli:

infine, risolvendo le somme si ottiene al numeratore (sia nel discreto che nel continuo) il momento rispetto alla media di ordine :

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

si può estrarre dal valore atteso in quanto costante:

sviluppando il binomio del quadrato, si ottiene:

ed ancora, applicando la suddetta proprietà di linearità,

dove, il primo valore atteso coincide con il momento rispetto all’origine di ordine , il secondo con il momento rispetto all’origine di ordine , il terzo con il momento rispetto all’origine di ordine ed infine il quarto, con la media; in simboli:

ma la quantità al numeratore non è altro che il momento rispetto alla media di ordine , pertanto, in simboli:

I momenti principali sono tre:

1. rispetto all’origine
2. rispetto alla media
3. standardizzato

In questo post, si analizzerà il momento rispetto alla media, partendo dal caso più generico, per poi passare allo studio di alcuni suoi casi particolari.

Data la variabile casuale semplice con funzione di ripartizione e trasformata ,

Momento rispetto alla media di ordine r (o momento r-esimo rispetto alla media): è la quantità così definita, in simboli:

Di seguito i casi particolari del valore atteso appena definito e relative verifiche.

Data la variabile casuale semplice con funzione di ripartizione e trasformata ,

Momento rispetto alla media di ordine 0 (o momento 0-esimo rispetto alla media): è la quantità così definita, in simboli:

Verifica1: ovviamente le potenze con esponente zero sono pari all’unità, pertanto, le suddette formule diventano:

ma, la sommatoria e l’integrale restanti sono entrambi pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli: e

In conclusione, sia nel discreto che nel continuo il momento rispetto alla media di ordine è uguale ad .

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà secondo la quale il valore atteso di una costante è pari alla costante stessa; in simboli:

Momento rispetto alla media di ordine 1 (o momento 1-esimo rispetto alla media): è la quantità così definita, in simboli:

Verifica1: applicando le proprietà di sommatoria e di integrazione, le suddette formule diventano:

la media si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante, pertanto le formule diventano:

la seconda sommatoria ed il secondo integrale si riducono all’unità per le proprietà di cui godono la PMF e la PDF, in simboli:

la prima sommatoria ed il primo integrale sono pari per le definizioni viste nella lezione precedente al momento rispetto all’origine di ordine uno (cioé, alla media) pertanto, in simboli:

che sono pari a zero sia nel discreto che nel continuo, in simboli:

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

applicando la sopracitata proprietà, si ottiene:

il primo valore atteso è pari alla media (o momento rispetto all’origine di ordine ) mentre il secondo è uguale alla stessa costante; in simboli:

Momento rispetto alla media di ordine 2 (o momento 2-esimo rispetto alla media o varianza): è la quantità così definita, in simboli:

N.B.: la varianza è il secondo indice di sintetizzazione cercato: in particolare, è misura della variabilità della distribuzione di una variabile casuale. Si denota con .

Verifica1: sviluppando i quadrati dei binomi ed applicando le proprietà di sommatoria e di integrazione, le suddette formule diventano:

ma, la terza sommatoria ed il terzo integrale sono pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli:

mentre, la prima sommatoria ed il primo integrale determinano il momento rispetto all’origine di ordine ed invece, la seconda sommatoria e il secondo integrale, la media; in simboli:

infine, risolvendo le somme si ottiene (sia nel discreto che nel continuo) la quantità denominata appunto varianza, la quale si è soliti denotare con o con e :

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

sviluppando il quadrato del binomio, si ottiene:

ed ancora, applicando la suddetta proprietà di linearità,

ed infine, il primo valore atteso coincide con il momento rispetto all’origine di ordine mentre il secondo, con la media; in simboli:

Momento rispetto alla media di ordine 3 (o momento 3-esimo rispetto alla media): è la quantità così definita, in simboli:

Momento rispetto alla media di ordine 4 (o momento 4-esimo rispetto alla media): è la quantità così definita, in simboli:

I momenti principali sono tre:

1. rispetto all’origine
2. rispetto alla media
3. standardizzato

In questo post, si analizzerà il momento rispetto all’origine, partendo dal caso più generico, per poi passare allo studio di alcuni suoi casi particolari.

Data la variabile casuale semplice con funzione di ripartizione e trasformata ,

Momento rispetto all’origine di ordine r (o momento r-esimo rispetto all’origine): è la quantità così definita, in simboli:

Di seguito i casi particolari del valore atteso appena definito e relative verifiche.

Data la variabile casuale semplice con funzione di ripartizione e trasformata ,

Momento rispetto all’origine di ordine 0 (o momento 0-esimo rispetto all’origine): è la quantità così definita, in simboli:

Verifica1: ovviamente le potenze con esponente zero sono pari all’unità, pertanto, le suddette formule diventano:

ma, la sommatoria e l’integrale restanti sono entrambi pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli:

In conclusione, sia nel discreto che nel continuo il momento rispetto all’origine di ordine è uguale ad .

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà secondo la quale il valore atteso di una costante è pari alla costante stessa; in simboli:

Momento rispetto all’origine di ordine 1 (o momento 1-esimo rispetto all’origine o media): è la quantità così definita, in simboli:

N.B.: la media è il primo indice di sintetizzazione cercato: in particolare, è misura della tipicità della distribuzione di una variabile casuale, in quanto esprime la quantità attorno alla quale si collocano i valori assunti dalla variabile aleatoria.

Momento rispetto all’origine di ordine 2 (o momento 2-esimo rispetto all’origine ): è la quantità così definita, in simboli:

In alcune situazioni, può essere utile dare una rappresentazione sintetica della distribuzione di una variabile casuale attraverso degli indici caratteristici piuttosto che dare una sua rappresentazione completa mediante la funzione di ripartizione, di massa o di densità di probabilità. Esistono diversi modi per costruire questi indici, tra i più utilizzati il calcolo di uno e più valori attesi detti anche momenti della distribuzione di una variabile casuale.

Data la variabile casuale semplice con funzione di ripartizione , di massa e densità e trasformata ,

Valore atteso (o momento) della trasformata: è il valore così definito; in simboli:

N.B.: la è la funzione di massa di probabilità della variabile casuale semplice discreta , la quale assume valori con ed eventualmente con se il supporto o rango della funzione è un insieme con cardinalità infinita numerabile, cioé, se l’insieme dei valori assunti dalla variabile casuale è un insieme costituito da un numero infinito numerabile di numeri reali. La è la funzione di densità di probabilità della variabile casuale continua , la quale assume valori nell’intervallo , eventualmente con e .

Dalla definizione appare evidente il fatto che il valore atteso è una costante, pertanto, la considerazione iniziale circa la sintetizzazione della distribuzione di una variabile casuale ha senso; in particolare, quest’ultimo obbiettivo viene conseguito dal momento utilizzando la seguente logica: i valori trasformati mediante la trasfomata vengono sommati (nel discreto) e/o integrati (nel continuo) dopo esser stati pesati rispettivamente con la PMF e/o PDF.

Prima di procedere con l’analisi dei principali momenti, si verificano ora alcune proprietà fondamentali:

Valore atteso di una costante: data la variabile casuale semplice con funzione di ripartizione e trasformata (costante), il valore atteso della trasformata è pari alla costante stessa; in simboli:

Si prova ora questa conclusione.

Il valore atteso della trasformata , cioé, della costante , è la quantità così definita, in simboli:

ma essendo k costante sia nel discreto che nel continuo si può portare fuori dalla sommatoria e dalla integrazione, ottenendo quanto segue, in simboli:

ma, per la proprietà di cui gode la PMF, la sommatoria restante è pari alla unità e per la corrispondente proprietà di cui gode la PDF l’integrale restante è pari all’unità, pertanto, sia nel discreto che nel continuo si ricava che il valore atteso della costante è pari alla costante stessa.

Proprietà di omogeneità: data la variabile casuale semplice con funzione di ripartizione , trasformata e sia una costante, il valore atteso del prodotto della costante per la trasformata è pari al prodotto della costante per il valore atteso della trasformata; in simboli:

Si prova ora questa conclusione.

Il valore atteso del prodotto della costante per la trasformata , è la quantità così definita, in simboli:

ma essendo costante sia nel discreto che nel continuo si può portare fuori dalla sommatoria e dalla integrazione, ottenendo quanto segue, in simboli:

la sommatoria e l’integrale restanti sono pari al valore atteso della trasformata rispettivamente nel discreto e nel continuo; pertanto, sostituendoli entrambi con si ottiene il risultato cercato.

Proprietà di additività: data la variabile casuale semplice con funzione di ripartizione e le trasformate e

Si prova ora questa conclusione.

Il valore atteso della somma delle trasformate e , è la quantità così definita, in simboli:

Risolvendo la sommatoria (nel discreto) e l’integrale (nel continuo), si ottiene, in simboli:

dove, la prima sommatoria è il valore atteso della trasformata mentre la seconda è il momento della trasformata ; stesso discorso nel continuo, il primo integrale coincide con  il valore atteso della trasformata mentre il secondo con il momento della trasformata .

Proprietà di linearità: data la variabile casuale semplice con funzione di ripartizione , le trasformate e e le costanti e , il valore atteso della loro combinazione lineare è pari alla combinazione lineare dei valori attesi; in simboli:

Si prova ora questa conclusione.

Il valore atteso della combinazione lineare, è la quantità così definita, in simboli:

applicando le proprietà della sommatoria (nel discreto) e di integrazione (nel continuo) si ottiene, in simboli:

ma essendo e costanti sia nel discreto che nel continuo si possono portare fuori dalla sommatoria e dalla integrazione, ottenendo quanto segue, in simboli:

la sommatoria e l’integrale restanti sono pari al valore atteso delle trasformate e rispettivamente nel discreto e nel continuo; pertanto, sostituendoli con ed si ottiene il risultato cercato.

Le tre funzioni sinora analizzate (funzione di ripartizione, di massa e di densità di probabilità) che consento di stabilire il modo in cui la probabilità si distribuisce sull’insieme dei valori assunti dalla variabile casuale semplice X, sono tra loro strettamente connesse.

Funz.ripartizione e PMF

Utilizzando delle opportune formule è possibile migrare da una funzione nell’altra e viceversa.

Formule di conversione dalla funzione di ripartizione in quella di massa e viceversa.

1. Dalla funzione di ripartizione a quella di massa:

Verifica: per definizione, il punto di discontinuità di prima specie (o salto) è la quantità pari alla differenza tra il valore assunto dalla funzione di ripartizione nel punto da destra e quello assunto in da sinistra, in simboli:

e non dimenticando il significato probabilistico,

Sapendo inoltre che, alla probabilità che la variabile casuale semplice assuma valori minori minori o uguali ad da sinistra, corrisponde un intervallo di valori di (precisamente, ) allora, in simboli:

cioé, ciò che si cercava.

2. Dalla funzione di massa a quella di ripartizione:

Verifica: la funzione di ripartizione misura la probabilità che la variabile casuale semplice assuma valori minori o uguali alle determinazioni ; in simboli:

Quest’ultima probabilità è a sua volta equivalente alla somma delle probabilità che la stessa variabile casuale assuma valori uguali agli (); in simboli:

ma per la definizione di funzione di massa, si ottiene in simboli:

1. Dalla funzione di ripartizione a quella di densità:

Verifica: la f_X è stata precedentemente definita come la funzione che consente di stabilire la probabilità che la variabile casuale semplice continua assuma valori in intervalli infinitesimi del tipo ; in simboli:

Per quanto detto circa la funzione di ripartizione, essa ci consente di stabilire la probabilità che la variabile casuale semplice assuma valori compresi in intervalli del tipo e tale probabilità si è dimostrato essere uguale alla differenza tra i valori assunti dalla in quei punti; in simboli:

Sostituendo nel suddetto limite si ottiene che la funzione di densità di probabilità della variabile semplice continua è pari al limite del rapporto incrementale per che va a zero; in simboli:

In poche parole, la derivata prima della funzione di ripartizione.

2. Dalla funzione di densità a quella di ripartizione:

che ovviamente deriva dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

In questo post, sono presenti una serie di esercizi (reperibili in rete), la cui discussione e risoluzione è stata necessaria alla comprensione della parte teorica (vista nei post precedenti) e pertanto, importante ai fini del superamento dell’esame di Probabilità.

Il 15% degli individui appartenenti ad una certa popolazione risulta fumatore. È noto inoltre che l’85% dei fumatori ed il 15% dei non fumatori sono affetti da una certa patologia respiratoria. Qual’è la probabilità che un certo individuo selezionato a caso dalla popolazione sia affetto da tale patologia?

Niente di più semplice (…fossero tutti così?!): si tratta di applicare la formula della probabilità marginale definita nella lezione 9.

Lo spazio campionario dell’esperimento casuale in gioco è così partizionato: F l’evento corrispondente alla popolazione fumatrice ed ovviamente C(F), l’evento corrispondente alla parte della popolazione non fumatrice. I due eventi verificano le tre condizioni del partizionamento:

Rappresentazione grafica dell'esempio

1. sono entrambi non impossibili
2. sono incompatibili (o mutualmente esclusivi)
3. sono esaustivi

o alternativamente, in simboli:

1. F, C(F) ≠ Ø
2. F ∩ C(F) = C(F) ∩ F = Ø
3. F ∪ C(F) = C(F) ∪ F = Ω

Sia M l’evento corrispondente alla malattia respiratoria; questa colpisce (in percentuali diverse) sia la parte della popolazione fumatrice che quella non fumatrice.

Qual’è la probabilità che un certo individuo selezionato a caso dalla popolazione sia affetto da tale patologia? (…in parole povere: quanto è la probabilità marginale di M?)

In simboli:

P(M) = P(M ∩ Ω) =

ma, essendo lo spazio campionario partizionato, lo si può sostituire con i sottoinsiemi esaustivi della famiglia (cioé, F e C(F)) ottenendo, in simboli:

= P{M ∩ [F ∪ C(F)]} =

risolvendo la distributiva della intersezione rispetto alla unione si ottiene, in simboli:

= P{[M ∩ F] ∪ [M ∩ C(F)]} =

dato che si tratta di eventi incompatibili, si può applicare alla probabilità dell’unione il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi, ottenendo che equivale alla somma delle singole probabilità congiunte; in simboli:

= P[M ∩ F] + P[M ∩ C(F)] =

Infine, applicando il principio delle probabilità composte alle singole congiunte si ottiene, in simboli:

= P(F)P(M/F) + P[C(F)]P[M/C(F)] =

che è la formula cercata (probabilità marginale in funzione della condizionata).

Dati noti:

• P(F) = probabilità evento fumatori = 15%
• P(M/F) = probabilità evento malattia condizionata dai fumatori = 85%
• P[M/C(F)] = probabilità evento malattia condizionata dai non fumatori = 15%
• P[C(F)] = probabilità evento non fumatori =
  applicando la regola dell’evento complementare si ottiene, in simboli:
  = 1 – P(F) =
  = 100% – 15% = 85%

Sostituendo le probabilità con i valori noti, si ottiene che la probabilità che un individuo qualunque sia malato è, in simboli:

= (15%)(85%) + (85%)(15%) =

= 25.5%

Ogni anno un’azienda immette sul mercato un gran numero di nuovi prodotti. Prima dell’immissione sul mercato, il prodotto viene giudicato da un campione di potenziali clienti. In passato, il 95% dei prodotti che hanno poi avuto un elevato successo ha ricevuto un giudizio positivo dal campione; il 60% dei prodotti di successo moderato e il 10% dei prodotti di scarso successo hanno anche ricevuto un giudizio positivo. Dall’esperienza pregressa, si sa, inoltre, che il 40% dei nuovi prodotti immessi sul mercato dall’azienda sono stati di successo elevato, il 35% di successo moderato e il 25% di scarso successo.

1. Quale è la probabilità che un nuovo prodotto ottenga un giudizio positivo dal campione?
2. Se un nuovo prodotto è giudicato positivamente dal campione, quale è la probabilità che abbia poi un elevato successo?
3. Quale è la probabilità che il prodotto abbia uno scarso successo se giudicato negativamente dal campione?

Innanzitutto si esaminano i dati in possesso.

Rappresentazione grafica dell'esempio

Legenda:

• P(ES) = probabilità evento prodotti di successo elevato = 40%
• P(SM) = probabilità evento prodotti di successo moderato = 35%
• P(SS) = probabilità evento prodotti di scarso successo = 25%
• P(GP/ES) = 95%
• P(GP/SM) = 60%
• P(GP/SS) = 10%

Lo spazio campionario dato da i nuovi prodotti esaminati dall’azienda, è così partizionabile; in simboli:

1. ES, SM, SS ≠ Ø
2. ES ∩ (SM ∩ SS) = (ES ∩ SM) ∩ SS = Ø
3. ES ∪ (SM ∪ SS) = (ES ∪ SM) ∪ SS = Ω

1. Quale è la probabilità che un nuovo prodotto ottenga un giudizio positivo dal campione?

Serve determinare la probabilità marginale dell’evento prodotto giudicato positivamente dal campione; in simboli:

P(GP) = P(GP ∩ Ω) =

ma, essendo lo spazio campionario partizionato, lo si può sostituire con i sottoinsiemi esaustivi della famiglia (cioé, ES, SM e SS) ottenendo, in simboli:

= P{GP ∩ [ES ∪ (SM ∪ SS)]} =

risolvendo la distributiva della intersezione rispetto alla unione si ottiene, in simboli:

= P[(GP ∩ ES) ∪ (GP ∩ SM) ∪ (GP ∩ SS)] =

dato che si tratta di eventi incompatibili, si può applicare alla probabilità dell’unione il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi, ottenendo che equivale alla somma delle singole probabilità congiunte; in simboli:

= P(GP ∩ ES) + P(GP ∩ SM) + P(GP ∩ SS) =

Infine, applicando il principio delle probabilità composte alle singole congiunte si ottiene, in simboli:

= P(ES)P(GP/ES) + P(SM)P(GP/SM) + P(SS)P(GP/SS) =

che è la formula cercata (probabilità marginale in funzione della condizionata).

Sostituendo le probabilità con i valori noti, si ottiene che la probabilità che un prodotto nuovo sia giudicato positivamente è, in simboli:

= (40%)(95%) + (35%)(60%) + (25%)(10%) =

= 61.5%

2. Se un nuovo prodotto è giudicato positivamente dal campione, quale è la probabilità che abbia poi un elevato successo?

Ciò che qui interessa è determinare la probabilità che l’evento prodotto di elevato successo si verifichi condizionatamente all’evento prodotto giudicato positivamente dal campione; in simboli:

P(ES/GP)

Applicando il principio delle probabilità condizionate si ottiene che quest’ultima, equivale al rapporto tra la probabilità congiunta P(ES ∩ GP) e la probabilità marginale dell’evento condizionante P(GP); in simboli:

P(ES/GP) = P(ES ∩ GP) / P(GP) =

Applicando al numeratore il principio delle probabilità composte, si ottiene che equivale al prodotto tra la probabilità a priori P(ES) e la probabilità probativa P(GP/ES); in simboli:

= P(ES)P(GP/ES) / P(GP) =

Sostituendo le probabilità con i valori noti, si ottiene che la probabilità cercata è, in simboli:

= (40%)(95%) / (61.5%) =

= 61.8%

3. Quale è la probabilità che il prodotto abbia uno scarso successo se giudicato negativamente dal campione?

Ciò che qui interessa è determinare la probabilità che l’evento prodotto di scarso successo si verifichi condizionatamente all’evento prodotto giudicato negativamente dal campione; in simboli:

P[SS/C(GP)]

…e si, BAYES ancora una volta!

Prima di procedere, però, è necessario determinare la probabilità del complementare dell’evento prodotto giudicato positivamente dal campione e la probabilità del verificarsi dell’evento prodotto giudicato negativamente dal campione condizionato dall’evento prodotto di scarso successo; per fare queste cose, è sufficiente applicare la regola dell’evento complementare; in simboli:

P[C(GP)] = 1 – P(GP) = 100% – 61.5% = 38.5%

P[C(GP)/SS] = 1 – P(GP/SS) = 100% – 10% = 90%

Infine, applicando la formula del teorema di bayes già vista sopra, in simboli:

P[SS/C(GP)] = P(SS)P[C(GP)/SS] / P[C(GP)] =

si ottiene il risultato cercato:

= (25%)(90%) / (38.5%) = 58.4%

Un negoziante ha una dozzina di motorini elettrici, due dei quali difettosi. Un cliente è interessato all’acquisto dell’intera dozzina. Il negoziante può imballare tutti i motorini in una scatola oppure dividerli fra due scatole di sei motorini ciascuna, sapendo che il cliente proverà due dei dodici motorini prendendone uno da ciascuna scatola se essi sono imballati in due scatole. Quale è la probabilità che il cliente scopra almeno un motorino difettoso, per ciascuna delle tre seguenti strategie:

• una sola scatola;
• due scatole e un motorino difettoso in ciascuna scatola;
• due scatole ed entrambi i motorini difettosi in una scatola.

Nel (1°) caso in cui il cliente estragga i due motorini da una sola scatola, lo spazio campionario complessivo è così partizionabile:

1. S, C(S) ≠ Ø
2. S ∩ C(S) = C(S) ∩ S = Ø
3. S ∪ C(S) = S ∪ C(S) = Ω

dove il simbolo S sta’ per motorino sano.

Alla prima estrazione si possono ottenere gli eventi motorino sano o guasto con probabilità classica rispettivamente pari a 10/12 e 2/12; in simboli:

• P(S₁) = 10/12 = 5/6
• P[C(S₁)] = 2/12 = 1/6

Alla seconda estrazione si possono ottenere i seguenti eventi condizionati (probabilità indicate); in simboli:

• P(S₂/S₁) = 9/11
• P[C(S₂)/S₁] = 2/11
• P[S₂/C(S₁)] = 10/11
• P[C(S₂)/C(S₁)] = 1/11

1. Quale è la probabilità che il cliente scopra almeno un motorino difettoso, in una scatola?

Ciò che serve è la probabilità della unione dei tre eventi {S₁ ∩ [C(S₂)/S₁]}, {C(S₁) ∩ [S₂/C(S₁)]} e {C(S₁) ∩ [C(S₂)/C(S₁)]}; poichè si ha a che fare con eventi incompatibili, si può applicare il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi alla probabilità dell’unione ottenendo che equivale alla somma delle singole congiunte, in simboli:

P{{S₁ ∩ [C(S₂)/S₁]} ∪ {C(S₁) ∩ [S₂/C(S₁)]} ∪ {C(S₁) ∩ [C(S₂)/C(S₁)]}} = P{S₁ ∩ [C(S₂)/S₁]} + P{C(S₁) ∩ [S₂/C(S₁)]} + P{C(S₁) ∩ [C(S₂)/C(S₁)]} =

ed essendo i suddetti eventi indipendenti, è possibile applicare alle singole probabilità congiunte, il principio delle probabilità composte per eventi indipendenti, ottenendo in simboli:

= P(S₁) P[C(S₂)/S₁] + P[C(S₁)] P[S₂/C(S₁)] + P[C(S₁)] P[C(S₂)/C(S₁)] =

Infine, sostituendo i valori noti delle singole probabilità marginali, si ottiene il risultato cercato:

= (5/6)(2/11) + (1/6)(10/11) + (1/6)(1/11) = 21/66

Nel (2°) caso in cui il cliente estrae i due motorini da due scatole, lo spazio campionario complessivo è dato dal prodotto cartesiano di Ω per se stesso (contengono gli stessi punti campionari), in simboli:

Ω_A := {S_A,S_A,S_A,S_A,S_A,C[S_A]}

Ω_B := {S_B,S_B,S_B,S_B,S_B,C[S_B]}

Ω² = Ω x Ω := {(S_A,S_B), (S_A,S_B), …, etc}

Alla prima estrazione si possono ottenere gli eventi motorino sano o guasto con probabilità classica rispettivamente pari a, in simboli:

• P(S_A) = P(S_B) = 5/6
• P[C(S_A)] = P[C(S_B)] = 1/6

2. Quale è la probabilità che il cliente scopra almeno un motorino difettoso, in due scatole ed un motorino difettoso in ciascuna scatola?

Ciò che serve è la probabilità della unione dei tre eventi [S_A ∩ C(S_B)], [C(S_A) ∩ S_B] e [C(S_A) ∩ C(S_B)]; poichè si ha a che fare con eventi incompatibili, si può applicare il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi alla probabilità dell’unione ottenendo che equivale alla somma delle singole congiunte, in simboli:

P{[S_A ∩ C(S_B)] ∪ [C(S_A) ∩ S_B] ∪ [C(S_A) ∩ C(S_B)]} = P[S_A ∩ C(S_B)] + P[C(S_A) ∩ S_B] + P[C(S_A) ∩ C(S_B)] =

ed essendo i suddetti eventi indipendenti, è possibile applicare alle singole probabilità congiunte, il principio delle probabilità composte per eventi indipendenti, ottenendo in simboli:

= P(S_A) P[C(S_B)] + P[C(S_A)] P(S_B) + P[C(S_A)] P[C(S_B)] =

Infine, sostituendo i valori noti delle singole probabilità marginali, si ottiene il risultato cercato:

= (5/6)(1/6) + (1/6)(5/6) + (1/6)(1/6) = 11/36

Nel (3°) caso in cui il cliente estrae i due motorini da due scatole, lo spazio campionario complessivo è dato dal prodotto cartesiano di Ω per se stesso (contengono gli stessi punti campionari), in simboli:

Ω_A := {S_A,S_A,S_A,S_A,C(S_A),C(S_A)}

Ω_B := {S_B,S_B,S_B,S_B,S_B,S_B}

Ω² = Ω x Ω := {(S_A,S_B), (S_A,S_B), …, etc}

Alla prima estrazione si possono ottenere gli eventi motorino sano o guasto con probabilità classica rispettivamente pari a, in simboli:

• P(S_A) = 4/6 = 2/3
• P[C(S_A)] = 2/6 = 1/3
• P(S_B) = 6/6 = 1
• P[C(S_B)] = 1 -  P(S_B) = 0

3. Quale è la probabilità che il cliente scopra almeno un motorino difettoso, in due scatole ed entrambi i motorini difettosi in una scatola?

Ciò che serve è la probabilità dell’evento intersezione [C(S_B) ∩ S_A].

Essendo i suddetti eventi indipendenti, è possibile applicare alla singola probabilità congiunta, il principio delle probabilità composte per eventi indipendenti, ottenendo in simboli:

P[C(S_B) ∩ S_A] = P[C(S_B)] P(S_A) =

Infine, sostituendo i valori noti delle singole probabilità marginali, si ottiene il risultato cercato:

= (1/3)(1) = 1/3

Riprendendo il discorso interrotto nella lezione precedente circa il difetto della funzione di massa di probabilità della variabile casuale semplice discreta (non è definita per variabili casuali continue), si prova ora a capire il perché di questo fatto.

Funzione di ripartizione (continuo)

Ricordando le proprietà di cui gode la :

Una funzione monotona ammette limite destro e sinistro in ogni suo punto; in simboli:

Ovviamente tali valori possono differire fra loro, allora, in corrispondenza del punto è presente un punto di discontinuità del primo tipo, che è determinabile sottraendo i suddetti valori (sensa scordarsi del significato probabilistico); in simboli:

Nel continuo, il limite per che tende ad da destra e da sinistra è sempre pari a , risultato ovvio dato che la è assolutamente continua (cioé, continua e derivabile ovunque); in simboli:

Da quanto concluso sopra, segue che nel continuo non ha senso determinare la probabilità su ciascun valore assunto dalla variabile casuale semplice (visto che sempre nulla), ma è corretto parlare di probabilità che la variabile aleatoria assuma valori in un intervallo, anche piccolissimo, del tipo . O meglio, la cosa che più importa è valutare quanto cambia la probabilità da un valore all’altro, cioé, interessa il rapporto incrementale

Data la variabile casuale continua che assume valori nell’intervallo eventualmente con e ,

Funzione di densità di probabilità (o PDF, che sta per Probability Density Function): è la funzione dall’insieme in che ad ogni reale associa il limite per che tende a , del rapporto tra la probabilità che la variabile casuale assuma valori nell’intervallo e l’ampiezza . In simboli:

Funzione di densità

Ovviamente, anche la PDF, come la funzione di ripartizione gode di diverse proprietà:

Esempio: la funzione di densità della variabile casuale semplice è la seguente, in simboli:

Determinare il valore di .

Da quanto detto sopra, l’integrale nell’insieme di definizione della funzione di densità di probabilità deve essere pari all’unità, pertanto, in simboli:

si può portare fuori dall’integrale in quanto costante,

risolvendo l’integrale

risolvendo l’uguaglianza si trova il valore di .

Data la variabile casuale discreta che assume valori con (ed eventualmente , se il supporto o rango della funzione è un insieme con cardinalità infinita numerabile, cioé se l’insieme di valori che la variabile casuale può assumere, è un insieme costituito da un numero infinito numerabile di numeri reali)

Funzione di Massa di Probabilità (o PMF, che sta per Probability Mass Function): è la funzione dall’insieme dei reali nei reali positivi, che ad ogni elemento associa la probabilità che la variabile casuale discreta assuma valori uguali al reale ; in simboli:

o meglio, è la funzione che vale zero, per ogni reale non appartenente al supporto ed è pari alla probabilità che la variabile casuale discreta assuma valori uguali alle determinazioni , per tutti gli appartenenti al rango ; in simboli:

Ovviamente, anche la PMF, come la funzione di ripartizione gode di diverse proprietà; dato che si tratta di una probabilità, valgono, in simboli:

Esempio: si consideri l’esperimento casuale lancio di una moneta bilanciata con spazio campionario costituito dai seguenti punti campionari: Croce e Testa. In simboli:

Si assume come variabile casuale semplice discreta la funzione da in che ad ogni punto dello spazio (croce e testa) associa uno ed un solo numero reale, ad esempio, a ed a ; in simboli:

e tale che sia vera la condizione è un evento, dove è l’insieme dei punti dello spazio campionario per i quali il valore assunto dalla funzione in quei punti è minore o uguale a ; in simboli:

N.B.: si ricorda che dire è minore o uguale a 1, equivale a dire che appartiene all’intervallo aperto a sinistra .

Funzione di Massa di Probabilità della v.c. discreta X

La sua funzione di massa di probabilità è quella che è pari a zero per ogni reale non appartenente al supporto (cioè i valori reali diversi da ) ed è pari a per ogni punto del supporto; difatti, la probabilità che la assuma valore (cioé che esca testa) è e cosippure la probabilità che assuma valore (esca croce). In simboli:

PREGI: non è riferita ad intervalli del tipo come quella di ripartizione, ma dice esattamente come la probabilità si comporta su ciascuna determinazione .

DIFETTI: non è definita per variabili casuali continue. Per ovviare a questo limite, è stata introdotta una nuova funzione, la densità di probabilità (PDF o Probability Density Function) che si vedrà nella lezione successiva.

Con questo post inauguro la sezione del blog dedicata a raccogliere i comandi (MS-DOS, UNIX, etc) che mi capita spesso utilizzare e dei quali voglio tenere memoria.

Obbiettivo: ottenere la lista dei caratteri disponibili su X.
Ambiente di lavoro: GNU/LINUX
Distro di riferimento: Ubuntu Server
Tasti di scelta rapida: xlsfonts
Note: consultare man xlsfonts per approfondimenti.

Data la Variabile Casuale Semplice , la

Funzione di distribuzione (o di ripartizione o delle probabilità cumulate): è la funzione dall’insieme dei reali nell’intervallo chiuso , che ad ogni numero reale associa la probabilità che la variabile casuale semplice X assuma valori minori o uguali del reale x.

Traducendo quanto detto in simboli:

In parole povere, la funzione di ripartizione misura la probabilità dell’evento , come si evince dai passi seguenti:

La funzione di ripartizione gode di diverse proprietà:

• 
  
• 
• 
• – è cioé, monotona non decrescente
  N.B.: Tale condizione può essere espressa anche in questo modo: . Se fosse stato si sarebbe parlato di funzione non crescente, se di funzione strettamente non decrescente ed infine se di funzione strettamante non crescente; in ogni caso, questo tipo di funzioni sono dette monotone.
  
• – cioé, consente di stabilire la probabilità che la variabile casuale semplice X assuma valori compresi in intervalli del tipo .

Funzione di ripartizione (discreto)

Nel DISCRETO:

• - cioé, la funzione delle probabilità cumulate è continua a destra.
  N.B.: Tale condizione può essere espressa anche in questo modo: per ogni successione convergente a si ha, in simboli,
  

• - cioé, la funzione delle probabilità cumulate presenta dei punti di discontinuità di 1° specie (o salti) in corrispondenza delle determinazioni assunte dalla variabile casuale (con ).
  N.B.: In particolare, si chiama salto la quantità pari alla differenza tra i limiti; in simboli:
  
  che si possono denotare anche in questo modo (senza dimenticarsi del loro significato probabilistico):
  *

Funzione di ripartizione (continuo)

Nel CONTINUO:

• la funzione delle probabilità cumulate è assolutamente continua, cioé, è continua e derivabile ovunque.

Si verificano, adesso, alcune delle suddette proprietà.

Funzione monotona non decrescente

Partendo dalla definizione di variabile casuale semplice, deve essere, in questo caso specifico, A_x2 un evento; in simboli:

ma può essere pensato come l’unione di due eventi incompatibili; in simboli:

In particolare, il primo evento si può denotare con :

Da quest’ultima formula, si deduce che è incluso propriamente in ; in simboli:

Per la monotonia, segue che, in simboli:

Per la definizione di funzione di ripartizione ; sostituendo nella precedente si ottiene la formula cercata:

Partendo dalla definizione di variabile casuale semplice, deve essere, in questo caso specifico, un evento; in simboli:

ma può essere pensato come l’unione di due eventi incompatibili; in simboli:

In particolare, il primo evento si può denotare con :

Passando alle probabilità:

Essendo i due eventi incompatibili, è possibile applicare alla probabilità della unione il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi ottenendo che la suddetta probabilità equivale alla somma delle singole probabilità marginali (da qui, la definizione di probabilità cumulate della ); in simboli:

Per definizione di funzione di ripartizione, ; sostituendo nella precedente si ottiene la formula cercata:

Esempio (discreto): si consideri l’esperimento casuale lancio di una moneta bilanciata con spazio campionario costituito dai seguenti punti campionari: Croce e Testa. In simboli:

N.B.: si tratta di uno spazio campionario con cardinalità finita, in quanto, l’insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento casuale è costituito da un numero finito di elementi (… giusto per non dimenticare quanto appreso nelle lezioni precedenti )

Si assume come variabile casuale semplice la funzione da  in che ad ogni punto dello spazio (croce e testa) associa uno ed un solo numero reale, ad esempio, ; in simboli:

e tale che sia vera la condizione è un evento, dove è l’insieme dei punti dello spazio campionario per i quali il valore assunto dalla funzione in quei punti è minore uguale a ; in simboli:

N.B.: si ricorda che dire è minore uguale a , equivale a dire che appartiene all’intervallo aperto a sinistra .

Il dominio della funzione è dato dai punti dello spazio campionario mentre il supporto (cioé, l’insieme di valori che la variabile casuale assume) è dato dai numeri reali . Da quest’ultima considerazione, appare chiaro il fatto che si ha a che fare con una variabile casuale discreta.

La funzione di ripartizione della variabile casuale discreta sarà per quanto detto sopra la probabilità dell’evento ; in simboli:

ma l’evento può essere pensato come l’unione di due eventi incompatibili, in simboli:

applicando il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi alla probabilità dell’unione, si ottiene che quest’ultima equivale alla somma delle singole probabilità marginali, in simboli:

Funzione di ripartizione della v.c. discreta X

Calcolando le probabilità, segue che la per la variabile casuale semplice discreta che associa a Testa a Croce è in simboli:

PREGI: è definita sia per variabili casuali discrete che continue.

DIFETTI: spesso si è interessati a conoscere il modo in cui la probabilità si distribuisce su ciascun valore assunto dalla variabile casuale e non alla probabilità riferita ad intervalli del tipo . Per ovviare a questo limite, è stata introdotta una nuova funzione, la massa di probabilità (PMF o Probability Mass Function) che si vedrà nella lezione successiva.