Probabilità – Lez020 (teoria ed esempi semplici)

I momenti principali sono tre:

rispetto all’origine
rispetto alla media
standardizzato

In questo post, si analizzerà il momento standardizzato, partendo dal caso più generico, per poi passare allo studio di alcuni suoi casi particolari.

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^r$ ,

Momento standardizzato di ordine r (o momento r-esimo standardizzato): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline{\overline{\mu_r}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^r\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (\frac{x_i - \mu_1}{\sigma}\right )^r f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (\frac{x - \mu_1}{\sigma}\right )^r f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

Di seguito i casi particolari del valore atteso appena definito e relative verifiche.

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^0 = 1$ ,

Momento standardizzato di ordine 0 (o momento 0-esimo standardizzato): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline{\overline{\mu_r}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^0\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (\frac{x_i - \mu_1}{\sigma}\right )^0 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (\frac{x - \mu_1}{\sigma}\right )^0 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

Verifica1: ovviamente le potenze con esponente zero sono pari all’unità, pertanto, le suddette formule diventano:

$\overline{\overline{\mu_0}}= E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^0\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

ma, la sommatoria e l’integrale restanti sono entrambi pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli: e

$\overline{\overline{\mu_0}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^0\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right \} = 1$

In conclusione, sia nel discreto che nel continuo il momento rispetto alla media di ordine $0$ è uguale ad $1$ .

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà secondo la quale il valore atteso di una costante è pari alla costante stessa; in simboli:

$\overline{\overline{\mu_0}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^0\right ] = E\left (1\right ) = 1$

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )$ *,

Momento standardizzato di ordine 1 (o momento 1-esimo standardizzato): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline{\overline{\mu_1}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (\frac{x_i - \mu_1}{\sigma}\right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (\frac{x - \mu_1}{\sigma}\right ) f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

Verifica1: $\frac{1}{\sigma}$ si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante:

$\overline{\overline{\mu_1}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )\right ] = \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma}\sum_{i = 1}^n \left (x_i - \mu_1\right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma}\int_a^b \left (x - \mu_1\right ) f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

poi, applicando le proprietà di sommatoria e di integrazione, le suddette formule diventano:

$\overline{\overline{\mu_1}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right ) = \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) + \sum_{i = 1}^n \left (-\mu_1\right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma}\int_a^b x f_X\left (x\right ) dx + \int_a^b \left (-\mu_1\right ) f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

la media $-\mu_1$ si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante, pertanto le formule diventano:

$\overline{\overline{\mu_1}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right ) = \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) - \frac{\mu_1}{\sigma}\sum_{i = 1}^n f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma}\int_a^b x f_X\left (x\right ) dx - \frac{\mu_1}{\sigma}\int_a^b f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

la seconda sommatoria ed il secondo integrale si riducono all’unità per le proprietà di cui godono la PMF e la PDF, in simboli:

$\overline{\overline{\mu_1}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right ) = \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) - \frac{\mu_1}{\sigma}\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma}\int_a^b x f_X\left (x\right ) dx - \frac{\mu_1}{\sigma}\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

la prima sommatoria ed il primo integrale sono pari per le definizioni viste nella lezione precedente al momento rispetto all’origine di ordine uno (cioé, alla media) pertanto, in simboli:

$\overline{\overline{\mu_1}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right ) = \left \{\begin{matrix}\frac{\mu_1}{\sigma} - \frac{\mu_1}{\sigma}\;nel\;discreto\\ \frac{\mu_1}{\sigma} - \frac{\mu_1}{\sigma}\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

che sono pari a zero sia nel discreto che nel continuo, in simboli:

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

$\overline{\overline{\mu_1}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )$

applicando la sopracitata proprietà, si ottiene:

$= \frac{E\left (X\right )}{\sigma} - \frac{E\left (\mu_1\right )}{\sigma}$

il primo valore atteso è pari alla media (o momento rispetto all’origine di ordine $1$ ) mentre il secondo è uguale alla stessa costante; in simboli:

$= \frac{\mu_1}{\sigma} - \frac{\mu_1}{\sigma} = 0$

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^2\right ]$ ,

Momento standardizzato di ordine 2 (o momento 2-esimo standardizzato ): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline{\overline{\mu_2}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^2\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (\frac{x_i - \mu_1}{\sigma}\right )^2 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (\frac{x - \mu_1}{\sigma}\right )^2 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

Verifica1: $\frac{1}{\sigma^2}$ si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante:

$\overline{\overline{\mu_2}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^2\right ] = \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i = 1}^n \left (x_i - \mu_1\right )^2 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma^2}\int_a^b \left (x^2 - \mu_1\right )^2 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

sviluppando i quadrati dei binomi ed applicando le proprietà di sommatoria e di integrazione, le suddette formule diventano:

$\overline{\overline{\mu_2}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^2\right ] = \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i = 1}^n \left (x_i^2 - 2 \mu_1 x_i + \mu_1^2 \right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma^2}\int_a^b \left (x^2 - 2 \mu_1 x + \mu_1^2 \right ) f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

$\overline{\overline{\mu_2}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^2\right ] =$

$= \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i = 1}^n x_i^2 f_X\left (x_i\right ) - \frac{2 \mu_1}{\sigma}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) + \frac{\mu_1^2}{\sigma}\sum_{i = 1}^n f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma^2}\int_a^b x^2 f_X\left (x\right ) dx - \frac{2 \mu_1}{\sigma^2}\int_a^b x f_X\left (x\right ) dx + \frac{\mu_1^2}{\sigma^2}\int_a^b f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

ma, la terza sommatoria ed il terzo integrale sono pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli:

$\overline{\overline{\mu_2}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^2\right ] =$

$= \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i = 1}^n x_i^2 f_X\left (x_i\right ) - \frac{2 \mu_1}{\sigma^2}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) + \frac{\mu_1^2}{\sigma^2}\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma^2}\int_a^b x^2 f_X\left (x\right ) dx - \frac{2 \mu_1}{\sigma^2}\int_a^b x f_X\left (x\right ) dx + \frac{\mu_1^2}{\sigma^2}\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

mentre, la prima sommatoria ed il primo integrale determinano il momento rispetto all’origine di ordine $2$ ed invece, la seconda sommatoria e il secondo integrale, la media; in simboli:

$= \left \{\begin{matrix}\frac{\mu_2}{\sigma^2} - \frac{2 \mu_1^2}{\sigma^2} + \frac{\mu_1^2}{\sigma^2}\;nel\;discreto\\ \frac{\mu_2}{\sigma^2} - \frac{2 \mu_1^2}{\sigma^2} + \frac{\mu_1^2}{\sigma^2}\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

infine, risolvendo le somme si ottiene al numeratore (sia nel discreto che nel continuo) la varianza $\sigma^2$ la quale semplificata con il denominatore determina l’unità:

$= \left \{\begin{matrix}\frac{\mu_2 - 2 \mu_1^2 + \mu_1^2}{\sigma^2}\;nel\;discreto\\ \frac{\mu_2 - 2 \mu_1^2 + \mu_1^2}{\sigma^2}\;nel\;continuo\end{matrix}\right \} = \frac{\mu_2 - \mu_1^2}{\sigma^2} = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} =1$

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

$\overline{\overline{\mu_2}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^2\right ]$

$\frac{1}{\sigma^2}$ si può estrarre dal valore atteso in quanto costante:

$= \frac{1}{\sigma^2}E\left [\left (X - \mu_1\right )^2\right ] =$

sviluppando il quadrato del binomio, si ottiene:

$= \frac{1}{\sigma^2}E\left (X^2 - 2 \mu_1 X + \mu_1^2\right ) =$

ed ancora, applicando la suddetta proprietà di linearità,

$= \frac{1}{\sigma^2}\left [E\left (X^2\right ) + E\left (- 2 \mu_1 X\right ) + E\left (\mu_1^2\right )\right ] =$

dove, il primo valore atteso coincide con il momento rispetto all’origine di ordine $2$ mentre il secondo, con la media; in simboli:

$= \frac{1}{\sigma^2}\left (\mu_2 - 2\mu_1^2 + \mu_1^2\right ) = \frac{\mu_2 -\mu_1^2}{\sigma^2} = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1$

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^3$ ,

Momento standardizzato di ordine 3 (o momento 3-esimo standardizzato o asimmetria): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline{\overline{\mu_3}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^3\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (\frac{x_i - \mu_1}{\sigma}\right )^3 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (\frac{x - \mu_1}{\sigma}\right )^3 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

N.B.: l’asimmetria è il terzo indice di sintetizzazione cercato: in particolare, è misura della simmetria (come suggerisce la stessa parola) della distribuzione di una variabile casuale rispetto alla media. Si denota con $\gamma_1, Asym\left (X\right )$ .Si possono presentare i seguenti casi:

$> 0$ : la distribuzione (della variabile casuale) si dice positivamente asimmetrica rispetto alla media
$< 0$ : la distribuzione (della variabile casuale) si dice negativamente asimmetrica rispetto alla media
$= 0$ : la distribuzione (della variabile casuale) si dice simmetrica rispetto alla media

Verifica1: $\frac{1}{\sigma^3}$ si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante:

$\overline{\overline{\mu_3}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^3\right ] = \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^3}\sum_{i = 1}^n \left (x_i - \mu_1\right )^3 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma^3}\int_a^b \left (x^2 - \mu_1\right )^3 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

sviluppando i cubi dei binomi ed applicando le proprietà della sommatoria e dell’integrale, le suddette formule diventano:

$\overline{\overline{\mu_3}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^3\right ] =$

$= \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^3}\sum_{i = 1}^n \left (x_i^3 - 3 \mu_1 x_i^2 + 3 \mu_1^2 x_i - \mu_1^3\right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma^2}\int_a^b \left (x^3 - 3 \mu_1 x^2 + 3 \mu_1^2 x - \mu_1^3\right ) f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

ed ancora,

$\overline{\overline{\mu_3}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^3\right ] =$

$= \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^3}\sum_{i = 1}^n x_i^3 f_X\left (x_i\right ) - \frac{3 \mu_1}{\sigma^3}\sum_{i = 1}^n x_i^2 f_X\left (x_i\right ) + \frac{3 \mu_1^2}{\sigma^3}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) - \frac{\mu_1^3}{\sigma^3}\sum_{i = 1}^n f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma^3}\int_a^b x^3 f_X\left (x\right ) dx - \frac{3 \mu_1}{\sigma^3}\int_a^b x^2 f_X\left (x\right )dx + \frac{3 \mu_1^2}{\sigma^3}\int_a^b x f_X\left (x\right ) dx - \frac{\mu_1^3}{\sigma^3}\int_a^b f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

ma, la quarta sommatoria ed il quarto integrale sono pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli:

$\overline{\overline{\mu_3}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^3\right ] =$

$= \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^3}\sum_{i = 1}^n x_i^3 f_X\left (x_i\right ) - \frac{3 \mu_1}{\sigma^3}\sum_{i = 1}^n x_i^2 f_X\left (x_i\right ) + \frac{3 \mu_1^2}{\sigma^3}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) - \frac{\mu_1^3}{\sigma^3}\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma^3}\int_a^b x^3 f_X\left (x\right ) dx - \frac{3 \mu_1}{\sigma^3}\int_a^b x^2 f_X\left (x\right )dx + \frac{3 \mu_1^2}{\sigma^3}\int_a^b x f_X\left (x\right ) dx - \frac{\mu_1^3}{\sigma^3}\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

dove, la prima sommatoria ed il primo integrale determinano il momento rispetto all’origine di ordine $3$ , la seconda sommatoria e il secondo integrale, il momento rispetto all’origine di ordine $2$ ed infine, la terza sommatoria ed il terzo integrale, la media; in simboli:

$= \left \{\begin{matrix}\frac{\mu_3}{\sigma^3} - \frac{3 \mu_1 \mu_2}{\sigma^3} + \frac{3 \mu_1^2 \mu_1}{\sigma^3} - \frac{\mu_1^3}{\sigma^3}\;nel\;discreto\\ \frac{\mu_3}{\sigma^3} - \frac{3 \mu_1 \mu_2}{\sigma^3} + \frac{3 \mu_1^2 \mu_1}{\sigma^3} -\frac{\mu_1^3}{\sigma^3}\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

infine, risolvendo le somme si ottiene al numeratore (sia nel discreto che nel continuo) il momento rispetto alla media di ordine $3$ :

$= \left \{\begin{matrix}\frac{\mu_3}{\sigma^3} - \frac{3 \mu_1 \mu_2}{\sigma^3} + \frac{2 \mu_1^3}{\sigma^3}\;nel\;discreto\\ \frac{\mu_3}{\sigma^3} - \frac{3 \mu_1 \mu_2}{\sigma^3} + \frac{2 \mu_1^3}{\sigma^3}\;nel\;continuo\end{matrix}\right \} = \frac{\overline{\mu_3}}{\sigma^3} = \gamma_1$

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

$\overline{\overline{\mu_3}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^3\right ]$

$\frac{1}{\sigma^3}$ si può estrarre dal valore atteso in quanto costante:

$= \frac{1}{\sigma^3}E\left [\left (X - \mu_1\right )^3\right ] =$

sviluppando il cubo del binomio, si ottiene:

$= \frac{1}{\sigma^3}E\left (X^3 - 3 \mu_1 X^2 + 3 \mu_1^2 X - \mu_1^3\right ) =$

ed ancora, applicando la suddetta proprietà di linearità,

$= \frac{1}{\sigma^3}\left [E\left (X^3\right ) -3 \mu_1 E\left (X^2\right ) + 3 \mu_1^2 E\left (X\right ) - \mu_1^3\right ] =$

dove, il primo valore atteso coincide con il momento rispetto all’origine di ordine $3$ , mentre il secondo con il momento rispetto all’origine di ordine $2$ ed infine il terzo, con la media; in simboli:

$= \frac{1}{\sigma^3}\left (\mu_3 - 3 \mu_1 \mu_2 +3 \mu_1 \mu_1^2 - \mu_1^3\right ) = \frac{\mu_3 - 3 \mu_1 \mu_2 + 2 \mu_1^3}{\sigma^3} =$

ma la quantità al numeratore non è altro che il momento rispetto alla media di ordine $3$ , pertanto, in simboli:

$= \frac{\overline{\mu_3}}{\sigma^3} = \gamma_1$

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^4$ ,

Momento standardizzato di ordine 4 (o momento 4-esimo standardizzato o asimmetria): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline{\overline{\mu_4}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^4\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (\frac{x_i - \mu_1}{\sigma}\right )^4 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (\frac{x - \mu_1}{\sigma}\right )^4 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

N.B.: la curtosi è il quarto indice di sintetizzazione cercato: in particolare, è misura della curtosi, cioé del grado di appiattimento della distribuzione di una variabile casuale rispetto alla distribuzione normale**. Si denota con $\gamma_2, Kurt\left (X\right )\;\mbox{o}\;K\left (X\right )$ . Si possono presentare i seguenti casi:

$> 3$ : la distribuzione (della variabile casuale) si dice leptocurtica
$< 3$ : la distribuzione (della variabile casuale) si dice platicurtica
$= 3$ : la distribuzione (della variabile casuale) è la normale

Verifica1: $\frac{1}{\sigma^4}$ si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante:

$\overline{\overline{\mu_4}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^4\right ] = \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^4}\sum_{i = 1}^n \left (x_i - \mu_1\right )^4 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma^4}\int_a^b \left (x^2 - \mu_1\right )^4 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

sviluppando i binomi alla quarta ed applicando le proprietà della sommatoria e dell’integrale, le suddette formule diventano:

$\overline{\overline{\mu_4}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^4\right ] =$

$= \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^4}\sum_{i = 1}^n \left (x_i^4 - 4 \mu_1 x_i^3 + 6 \mu_1^2 x_i^2 - 4 \mu_1^3 x_i + \mu_1^4\right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \frac{1}{\sigma^4}\int_a^b \left (x^4 - 4 \mu_1 x^3 + 6 \mu_1^2 x^2 - 4 \mu_1^3 x - \mu_1^4\right ) f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

ed ancora,

$\overline{\overline{\mu_4}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^4\right ] =$

$= \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^4}\sum_{i = 1}^n x_i^4 f_X\left (x_i\right ) - \frac{4 \mu_1}{\sigma^4}\sum_{i = 1}^n x_i^3 f_X\left (x_i\right ) + \frac{6 \mu_1^2}{\sigma^4}\sum_{i = 1}^n x_i^2 f_X\left (x_i\right ) - \frac{4 \mu_1^3}{\sigma^4}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) + \frac{\mu_1^4}{\sigma^4}\sum_{i = 1}^n f_X\left (x_i\right )\\ \frac{1}{\sigma^4}\int_a^b x^4 f_X\left (x\right ) dx - \frac{4 \mu_1}{\sigma^4}\int_a^b x^3 f_X\left (x\right )dx + \frac{6 \mu_1^2}{\sigma^3}\int_a^b x^2 f_X\left (x\right ) dx - \frac{4 \mu_1^3}{\sigma^4}\int_a^b x f_X\left (x\right ) dx + \frac{\mu_1^4}{\sigma^4}\int_a^b f_X\left (x\right ) dx\end{matrix}\right.$

ma, la quinta sommatoria ed il quinto integrale sono pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli:

$\overline{\overline{\mu_4}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^4\right ] =$

$= \left \{\begin{matrix}\frac{1}{\sigma^4}\sum_{i = 1}^n x_i^4 f_X\left (x_i\right ) - \frac{4 \mu_1}{\sigma^4}\sum_{i = 1}^n x_i^3 f_X\left (x_i\right ) + \frac{6 \mu_1^2}{\sigma^4}\sum_{i = 1}^n x_i^2 f_X\left (x_i\right ) - \frac{4 \mu_1^3}{\sigma^4}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) + \frac{\mu_1^4}{\sigma^4}\\ \frac{1}{\sigma^4}\int_a^b x^4 f_X\left (x\right ) dx - \frac{4 \mu_1}{\sigma^4}\int_a^b x^3 f_X\left (x\right )dx + \frac{6 \mu_1^2}{\sigma^3}\int_a^b x^2 f_X\left (x\right ) dx - \frac{4 \mu_1^3}{\sigma^4}\int_a^b x f_X\left (x\right ) dx + \frac{\mu_1^4}{\sigma^4}\end{matrix}\right.$

dove, la prima sommatoria ed il primo integrale determinano il momento rispetto all’origine di ordine $4$ , la seconda sommatoria e il secondo integrale, il momento rispetto all’origine di ordine $3$ , la terza sommatoria ed il terzo integrale, il momento rispetto all’origine di ordine $2$ ed infine, la quarta sommatoria ed il quarto integrale, la media; in simboli:

$= \left \{\begin{matrix}\frac{\mu_4}{\sigma^4} - \frac{4 \mu_1 \mu_3}{\sigma^4} + \frac{6 \mu_1^2 \mu_2}{\sigma^4} - \frac{4 \mu_1^3 \mu_1}{\sigma^4} + \frac{\mu_1^4}{\sigma^4}\;nel\;discreto\\ \frac{\mu_4}{\sigma^4} - \frac{4 \mu_1 \mu_3}{\sigma^4} + \frac{6 \mu_1^2 \mu_2}{\sigma^4} -\frac{4 \mu_1^3 \mu_1}{\sigma^4} + \frac{\mu_1^4}{\sigma^4}\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

infine, risolvendo le somme si ottiene al numeratore (sia nel discreto che nel continuo) il momento rispetto alla media di ordine $4$ :

$= \left \{\begin{matrix}\frac{\mu_4}{\sigma^4} - \frac{4 \mu_1 \mu_3}{\sigma^4} + \frac{6 \mu_1^2 \mu_2}{\sigma^4} - \frac{3 \mu_1^4}{\sigma^4}\;nel\;discreto\\ \frac{\mu_4}{\sigma^4} - \frac{4 \mu_1 \mu_3}{\sigma^4} + \frac{6 \mu_1^2 \mu_2}{\sigma^4} -\frac{3 \mu_1^4}{\sigma^4}\;nel\;continuo\end{matrix}\right \} = \frac{\mu_4 - 4\mu_1 \mu_3 + 6 \mu_1^2 \mu_2 - 3 \mu_1^4}{\sigma^4} = \gamma_2$

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

$\overline{\overline{\mu_4}} = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (\frac{X - \mu_1}{\sigma}\right )^4\right ]$

$\frac{1}{\sigma^4}$ si può estrarre dal valore atteso in quanto costante:

$= \frac{1}{\sigma^4}E\left [\left (X - \mu_1\right )^4\right ] =$

sviluppando il binomio del quadrato, si ottiene:

$= \frac{1}{\sigma^3}E\left (X^4 - 4 \mu_1 X^3 + 6 \mu_1^2 X^2 - 4 \mu_1^3 X + \mu_1^4\right ) =$

ed ancora, applicando la suddetta proprietà di linearità,

$= \frac{1}{\sigma^4}\left [E\left (X^4\right ) - 4 \mu_1 E\left (X^3\right ) + 6 \mu_1^2 E\left (X^2\right ) - \mu_1^3 E\left (X\right ) + \mu_1^4\right ] =$

dove, il primo valore atteso coincide con il momento rispetto all’origine di ordine $4$ , il secondo con il momento rispetto all’origine di ordine $3$ , il terzo con il momento rispetto all’origine di ordine $2$ ed infine il quarto, con la media; in simboli:

$= \frac{1}{\sigma^4}\left (\mu_4 - 4 \mu_1 \mu_3 + 6 \mu_1^2 \mu_2 - 4 \mu_1^3 \mu_1 + \mu_1^4\right ) = \frac{\mu_4 - 4 \mu_1 \mu_3 + 6 \mu_1^2 \mu_2 - 3 \mu_1^4}{\sigma^4} =$

ma la quantità al numeratore non è altro che il momento rispetto alla media di ordine $4$ , pertanto, in simboli:

$= \frac{\overline{\mu_4}}{\sigma^4} = \gamma_2$

* il simbolo $\sigma$ si chiama deviazione standard o scostamento quadratico medio e coincide con la radice quadrata della varianza. Invece, la trasformazione $g\left (X\right ) = \frac{X - \mu_1}{\sigma}$ si chiama standardizzazione: oltre a produrre la traslazione dell’origine nel punto medio, modifica l’unità di misura della variabile con quella con cui è espressa la deviazione standard.

Tags: Asimmetria, Curtosi, Deviazione Standard, Indici di Sintetizzazione, Momento Standardizzato, Standardizzazione, Valore Atteso

This entry was posted on 11 July 2009 at 22:04 and is filed under Probabilità, Università. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

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