Probabilità – Lez019 (teoria ed esempi semplici)

By l1nvx

I momenti principali sono tre:

rispetto all’origine
rispetto alla media
standardizzato

In questo post, si analizzerà il momento rispetto alla media, partendo dal caso più generico, per poi passare allo studio di alcuni suoi casi particolari.

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left (X - \mu_1\right )^r$ ,

Momento rispetto alla media di ordine r (o momento r-esimo rispetto alla media): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline\mu_r = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )^r\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (x_i - \mu_1\right )^r f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (x - \mu_1\right )^r f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

Di seguito i casi particolari del valore atteso appena definito e relative verifiche.

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left (X - \mu_1\right )^0 = 1$ ,

Momento rispetto alla media di ordine 0 (o momento 0-esimo rispetto alla media): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline\mu_r = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )^0\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (x_i - \mu_1\right )^0 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (x - \mu_1\right )^0 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

Verifica1: ovviamente le potenze con esponente zero sono pari all’unità, pertanto, le suddette formule diventano:

$\overline\mu_0 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )^0\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

ma, la sommatoria e l’integrale restanti sono entrambi pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli: e

In conclusione, sia nel discreto che nel continuo il momento rispetto alla media di ordine $0$ è uguale ad $1$ .

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà secondo la quale il valore atteso di una costante è pari alla costante stessa; in simboli:

$\overline\mu_0 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )^0\right ] = E\left (1\right ) = 1$

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left (X - \mu_1\right )$ *,

Momento rispetto alla media di ordine 1 (o momento 1-esimo rispetto alla media): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline\mu_1 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (x_i - \mu_1\right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (x - \mu_1\right ) f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

Verifica1: applicando le proprietà di sommatoria e di integrazione, le suddette formule diventano:

$\overline\mu_1 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (X - \mu_1\right ) = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) + \sum_{i = 1}^n \left (-\mu_1\right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b x f_X\left (x\right ) dx + \int_a^b \left (-\mu_1\right ) f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

la media $-\mu_1$ si può estrarre sia dalla sommatoria che dall’integrale in quanto costante, pertanto le formule diventano:

$\overline\mu_1 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (X - \mu_1\right ) = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) - \mu_1\sum_{i = 1}^n f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b x f_X\left (x\right ) dx - \mu_1\int_a^b f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

la seconda sommatoria ed il secondo integrale si riducono all’unità per le proprietà di cui godono la PMF e la PDF, in simboli:

$\overline\mu_1 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (X - \mu_1\right ) = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) - \mu_1\;nel\;discreto\\ \int_a^b x f_X\left (x\right ) dx - \mu_1\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

la prima sommatoria ed il primo integrale sono pari per le definizioni viste nella lezione precedente al momento rispetto all’origine di ordine uno (cioé, alla media) pertanto, in simboli:

$\overline\mu_1 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (X - \mu_1\right ) = \left \{\begin{matrix}\mu_1 - \mu_1\;nel\;discreto\\ \mu_1 - \mu_1\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

che sono pari a zero sia nel discreto che nel continuo, in simboli:

$\overline\mu_1 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (X - \mu_1\right ) = \left \{\begin{matrix}\mu_1 - \mu_1\;nel\;discreto\\ \mu_1 - \mu_1\;nel\;continuo\end{matrix}\right \} = 0$

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

$\overline\mu_1 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (X - \mu_1\right )$

applicando la sopracitata proprietà, si ottiene:

$= E\left (X\right ) - E\left (\mu_1\right )$

il primo valore atteso è pari alla media (o momento rispetto all’origine di ordine $1$ ) mentre il secondo è uguale alla stessa costante; in simboli:

$= \mu_1 - \mu_1 = 0$

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left [\left (X - \mu_1\right )^2\right ]$ ,

Momento rispetto alla media di ordine 2 (o momento 2-esimo rispetto alla media o varianza): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline\mu_2 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )^2\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (x_i - \mu_1\right )^2 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (x - \mu_1\right )^2 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

N.B.: la varianza è il secondo indice di sintetizzazione cercato: in particolare, è misura della variabilità della distribuzione di una variabile casuale. Si denota con $\sigma^2, VAR\left (X\right )\;\mbox{o}\;V\left (X\right )$ .

Verifica1: sviluppando i quadrati dei binomi ed applicando le proprietà di sommatoria e di integrazione, le suddette formule diventano:

$\overline\mu_2 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )^2\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (x_i^2 - 2 \mu_1 x_i + \mu_1^2 \right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (x^2 - 2 \mu_1 x + \mu_1^2 \right ) f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

$\overline\mu_2 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )^2\right ] =$

$= \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n x_i^2 f_X\left (x_i\right ) - 2 \mu_1\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) + \mu_1^2\sum_{i = 1}^n f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b x^2 f_X\left (x\right ) dx - 2 \mu_1\int_a^b x f_X\left (x\right ) dx + \mu_1^2\int_a^b f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

ma, la terza sommatoria ed il terzo integrale sono pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli:

$\overline\mu_2 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )^2\right ] =$

$= \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n x_i^2 f_X\left (x_i\right ) - 2 \mu_1\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right ) + \mu_1^2\;nel\;discreto\\ \int_a^b x^2 f_X\left (x\right ) dx - 2 \mu_1\int_a^b x f_X\left (x\right ) dx + \mu_1^2\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

mentre, la prima sommatoria ed il primo integrale determinano il momento rispetto all’origine di ordine $2$ ed invece, la seconda sommatoria e il secondo integrale, la media; in simboli:

$= \left \{\begin{matrix}\mu_2 - 2 \mu_1^2 + \mu_1^2\;nel\;discreto\\ \mu_2 - 2 \mu_1^2 + \mu_1^2\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

infine, risolvendo le somme si ottiene (sia nel discreto che nel continuo) la quantità denominata appunto varianza, la quale si è soliti denotare con $\sigma^2$ o con $VAR\left (X\right )$ e $V\left (X\right )$ :

$= \left \{\begin{matrix}\mu_2 - 2 \mu_1^2 + \mu_1^2\;nel\;discreto\\ \mu_2 - 2 \mu_1^2 + \mu_1^2\;nel\;continuo\end{matrix}\right \} = \mu_2 - \mu_1^2 = \sigma^2$

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà di linearità di cui gode il valore atteso; in simboli:

$\overline\mu_2 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )^2\right ]$

sviluppando il quadrato del binomio, si ottiene:

$= E\left (X^2 - 2 \mu_1 X + \mu_1^2\right ) =$

ed ancora, applicando la suddetta proprietà di linearità,

$= E\left (X^2\right ) + E\left (- 2 \mu_1 X\right ) + E\left (\mu_1^2\right ) =$

$= E\left (X^2\right ) - 2 \mu_1 E\left (X\right ) + \mu_1^2 =$

ed infine, il primo valore atteso coincide con il momento rispetto all’origine di ordine $2$ mentre il secondo, con la media; in simboli:

$= \mu_2 - 2\mu_1^2 + \mu_1^2 = \mu_2 -\mu_1^2 = \sigma^2$

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left (X - \mu_1\right )^3$ ,

Momento rispetto alla media di ordine 3 (o momento 3-esimo rispetto alla media): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline\mu_3 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )^3\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (x_i - \mu_1\right )^3 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (x - \mu_1\right )^3 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = \left (X - \mu_1\right )^4$ ,

Momento rispetto alla media di ordine 4 (o momento 4-esimo rispetto alla media): è la quantità così definita, in simboli:

$\overline\mu_4 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left [\left (X - \mu_1\right )^4\right ] = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n \left (x_i - \mu_1\right )^4 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b \left (x - \mu_1\right )^4 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

* la trasformazione $g\left (X\right ) = X - \mu_1$ si chiama variabile scarto e produce la traslazione dell’origine nel punto medio.

Tag: Momento, Momento rispetto alla media, Valore Atteso, Variabile Scarto, Varianza

Questo post è stato pubblicato il Luglio 9, 2009 alle 00:33 ed è archiviato in Probabilità, Università. Segui i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

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