Probabilità – Lez018 (teoria ed esempi semplici)

By l1nvx

I momenti principali sono tre:

rispetto all’origine
rispetto alla media
standardizzato

In questo post, si analizzerà il momento rispetto all’origine, partendo dal caso più generico, per poi passare allo studio di alcuni suoi casi particolari.

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = X^r$ ,

Momento rispetto all’origine di ordine r (o momento r-esimo rispetto all’origine): è la quantità così definita, in simboli:

$\mu_r = E\left [g\left (X\right )\right ] =E\left (X^r\right ) = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n x_i^r f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b x^r f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

Di seguito i casi particolari del valore atteso appena definito e relative verifiche.

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = X^0 = 1$ ,

Momento rispetto all’origine di ordine 0 (o momento 0-esimo rispetto all’origine): è la quantità così definita, in simboli:

$\mu_0 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (X^0\right ) = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n x_i^0 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b x^0 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

Verifica1: ovviamente le potenze con esponente zero sono pari all’unità, pertanto, le suddette formule diventano:

$\mu_0 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (X^0\right ) = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

ma, la sommatoria e l’integrale restanti sono entrambi pari all’unità per le proprietà di cui godono rispettivamente PMF e PDF. In simboli:

In conclusione, sia nel discreto che nel continuo il momento rispetto all’origine di ordine $0$ è uguale ad $1$ .

Verifica2: un metodo che consente di arrivare alla medesima conclusione, ma sicuramente più rapido, è quello che sfrutta la proprietà secondo la quale il valore atteso di una costante è pari alla costante stessa; in simboli:

$\mu_0 = E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (X^0\right ) = E\left (1\right ) = 1$

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = X$ (cioé, la funzione identità di X),

Momento rispetto all’origine di ordine 1 (o momento 1-esimo rispetto all’origine o media): è la quantità così definita, in simboli:

$\mu_1 = E\left [g\left (X\right )\right ] =E\left (X\right ) = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n x_i f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b x f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

N.B.: la media è il primo indice di sintetizzazione cercato: in particolare, è misura della tipicità della distribuzione di una variabile casuale, in quanto esprime la quantità attorno alla quale si collocano i valori assunti dalla variabile aleatoria.

Data la variabile casuale semplice $X$ con funzione di ripartizione $F_X\left (x\right )$ e trasformata $g\left (X\right ) = X^2$ ,

Momento rispetto all’origine di ordine 2 (o momento 2-esimo rispetto all’origine ): è la quantità così definita, in simboli:

$\mu_2 = E\left [g\left (X\right )\right ] =E\left (X^2\right ) = \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n x_i^2 f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b x^2 f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.$

Tag: Indici di Sintetizzazione, Media, Momento, Momento rispetto all'origine, Momento rispetto all'origine di ordine uno, Valore Atteso

Questo post è stato pubblicato il Luglio 8, 2009 alle 21:53 ed è archiviato in Probabilità, Università. Segui i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

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