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Probabilità – Lez017 (teoria ed esempi semplici)

By l1nvx

In alcune situazioni, può essere utile dare una rappresentazione sintetica della distribuzione di una variabile casuale attraverso degli indici caratteristici piuttosto che dare una sua rappresentazione completa mediante la funzione di ripartizione, di massa o di densità di probabilità. Esistono diversi modi per costruire questi indici, tra i più utilizzati il calcolo di uno e più valori attesi detti anche momenti della distribuzione di una variabile casuale.

Data la variabile casuale semplice X con funzione di ripartizione F_X\left (x\right ), di massa e densità f_X\left (x\right ) e trasformata g\left (X\right ),

Valore atteso (o momento) della trasformata: è il valore così definito; in simboli:

E\left [g\left (X\right )\right ] := \left \{\begin{matrix} \sum_{i = 1}^ng_X\left (x_i\right )f_X\left (x_i\right ) & discreto \\ \int_a^bg_X\left (x\right )f_X\left (x\right )dx & continuo \end{matrix}\right.

N.B.: la f_X\left (x_i\right ) è la funzione di massa di probabilità della variabile casuale semplice discreta X, la quale assume valori x_i con i = 1, \ldots, n ed eventualmente con n = +\infty se il supporto o rango della funzione è un insieme con cardinalità infinita numerabile, cioé, se l’insieme dei valori assunti dalla variabile casuale è un insieme costituito da un numero infinito numerabile di numeri reali. La f_X\left (x\right ) è la funzione di densità di probabilità della variabile casuale continua X, la quale assume valori nell’intervallo \left (a,b\right ), eventualmente con a = -\infty e b = +\infty.

Dalla definizione appare evidente il fatto che il valore atteso è una costante, pertanto, la considerazione iniziale circa la sintetizzazione della distribuzione di una variabile casuale ha senso; in particolare, quest’ultimo obbiettivo viene conseguito dal momento utilizzando la seguente logica: i valori trasformati mediante la trasfomata g\left (X\right ) vengono sommati (nel discreto) e/o integrati (nel continuo) dopo esser stati pesati rispettivamente con la PMF e/o PDF.

Prima di procedere con l’analisi dei principali momenti, si verificano ora alcune proprietà fondamentali:

Valore atteso di una costante: data la variabile casuale semplice X con funzione di ripartizione F_X\left (x\right ) e trasformata g\left (X\right ) = k (costante), il valore atteso della trasformata è pari alla costante stessa; in simboli:

E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (k\right ) = k

Si prova ora questa conclusione.

Il valore atteso della trasformata X, cioé, della costante k, è la quantità così definita, in simboli:

E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (k\right ) := \left \{\begin{matrix} \sum_{i = 1}^nk f_X\left (x_i\right ) & discreto \\ \int_a^b k f_X\left (x\right )dx & continuo \end{matrix}\right.

ma essendo k costante sia nel discreto che nel continuo si può portare fuori dalla sommatoria e dalla integrazione, ottenendo quanto segue, in simboli:

E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (k\right ) := \left \{\begin{matrix} k\sum_{i = 1}^nf_X\left (x_i\right ) & discreto \\ k\int_a^bf_X\left (x\right )dx & continuo \end{matrix}\right.

ma, per la proprietà di cui gode la PMF, la sommatoria restante è pari alla unità e per la corrispondente proprietà di cui gode la PDF l’integrale restante è pari all’unità, pertanto, sia nel discreto che nel continuo si ricava che il valore atteso della costante k è pari alla costante stessa. :)

Proprietà di omogeneità: data la variabile casuale semplice X con funzione di ripartizione F_X\left (x\right ), trasformata g\left (X\right ) e sia k una costante, il valore atteso del prodotto della costante per la trasformata è pari al prodotto della costante per il valore atteso della trasformata; in simboli:

E\left [k g\left (X\right )\right ] = k E\left [g\left (X\right )\right ]

Si prova ora questa conclusione.

Il valore atteso del prodotto della costante k per la trasformata g\left (X\right ), è la quantità così definita, in simboli:

E\left [k g\left (X\right )\right ] := \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n k g_X\left (x_i\right ) f_X\left (x_i\right ) & discreto \\ \int_a^b k g_X\left (x\right ) f_X\left (x\right )dx & continuo\end{matrix}\right.

ma essendo k costante sia nel discreto che nel continuo si può portare fuori dalla sommatoria e dalla integrazione, ottenendo quanto segue, in simboli:

E\left [g\left (X\right )\right ] = E\left (k\right ) := \left \{\begin{matrix} k\sum_{i = 1}^n g_X\left (x_i\right ) f_X\left (x_i\right ) & discreto \\ k \int_a^b g_X\left (x\right ) f_X\left (x\right )dx & continuo\end{matrix}\right.

la sommatoria e l’integrale restanti sono pari al valore atteso della trasformata g\left (X\right ) rispettivamente nel discreto e nel continuo; pertanto, sostituendoli entrambi con E\left [g\left (X\right )\right ] si ottiene il risultato cercato. :)

Proprietà di additività: data la variabile casuale semplice X con funzione di ripartizione F_X\left (x\right ) e le trasformate g_1\left (X\right ) e g_2\left (X\right ), il valore atteso della somma delle trasformate è pari alla somma dei singoli valori attesi; in simboli:

E\left [g_1\left (X\right ) + g_2\left (X\right )\right ] = E\left [g_2\left (X\right )\right ] + E\left [g_2\left (X\right )\right ]

Si prova ora questa conclusione.

Il valore atteso della somma delle trasformate g_1\left (X\right ) e g_2\left (X\right ), è la quantità così definita, in simboli:

E\left [g_1\left (X\right ) + g_2\left (X\right )\right ] := \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n\left [g_1\left (x_i\right ) + g_2\left (x_i\right )\right ] f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto \\ \int_a^b\left [g_1\left (x\right ) + g_2\left (x\right )\right ] f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.

Risolvendo la sommatoria (nel discreto) e l’integrale (nel continuo), si ottiene, in simboli:

E\left [g_1\left (X\right ) + g_2\left (X\right )\right ] := \left \{\begin{matrix} \sum_{i = 1}^ng_1\left (x_i\right ) f_X\left (x_i\right ) + \sum_{i = 1}^ng_2\left (x_i\right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^bg_1\left (x\right ) f_X\left (x\right ) dx + \int_a^bg_2\left (x\right ) f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.

dove, la prima sommatoria è il valore atteso della trasformata g_1\left (X\right ) mentre la seconda è il momento della trasformata g_2\left (X\right ); stesso discorso nel continuo, il primo integrale coincide con  il valore atteso della trasformata g_1\left (X\right ) mentre il secondo con il momento della trasformata g_2\left (X\right ). :)

Infine, la proprietà che raccoglie la omogeneità e la additività,

Proprietà di linearità: data la variabile casuale semplice X con funzione di ripartizione F_X\left (x\right ), le trasformate g_1\left (X\right ) e g_2\left (X\right ) e le costanti k_1 e k_2, il valore atteso della loro combinazione lineare è pari alla combinazione lineare dei valori attesi; in simboli:

E\left [k_1 g_1\left (X\right ) + k_2 g_2\left (X\right )\right ] = k_1 E\left [g_2\left (X\right )\right ] + k_2 E\left [g_2\left (X\right )\right ]

Si prova ora questa conclusione.

Il valore atteso della combinazione lineare, è la quantità così definita, in simboli:

E\left [k_1 g_1\left (X\right) + k_2 g_2\left (X\right )\right ] := \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^n\left [k_1 g_1 \left (x_i\right ) + k_2 g_2\left (x_i\right )\right ] f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^b\left [k_1 g_1\left (x\right ) + k_2 g_2\left (x\right )\right ] f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.

applicando le proprietà della sommatoria (nel discreto) e di integrazione (nel continuo) si ottiene, in simboli:

E\left [k_1 g_1\left (X\right ) + k_2 g_2\left (X\right )\right ] := \left \{\begin{matrix}\sum_{i = 1}^nk_1 g_1\left (x_i\right ) f_X\left (x_i\right ) + \sum_{i= 1}^nk_2 g_2\left (x_i\right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ \int_a^bk_1 g_1\left (x\right ) f_X\left (x\right ) dx + \int_a^bk_2 g_2\left (x\right ) f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.

ma essendo k_1 e k_2 costanti sia nel discreto che nel continuo si possono portare fuori dalla sommatoria e dalla integrazione, ottenendo quanto segue, in simboli:

E\left [k_1 g_1\left (X\right ) + k_2 g_2\left (X\right )\right ] := \left \{\begin{matrix}k_1 \sum_{i = 1}^n g_1\left (x_i\right ) f_X\left (x_i\right ) + k_2 \sum_{i = 1}^n g_2\left (x_i\right ) f_X\left (x_i\right )\;nel\;discreto\\ k_1 \int_a^b g_1\left (x\right ) f_X\left (x\right ) dx + k_2 \int_a^b g_2\left (x\right )f_X\left (x\right ) dx\;nel\;continuo\end{matrix}\right.

la sommatoria e l’integrale restanti sono pari al valore atteso delle trasformate g_1\left (X\right ) e g_2\left (X\right ) rispettivamente nel discreto e nel continuo; pertanto, sostituendoli con E\left [g_1\left (X\right )\right ] ed E\left [g_2\left (X\right )\right ] si ottiene il risultato cercato. :)

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Questo post è stato pubblicato il Luglio 3, 2009 alle 21:38 ed è archiviato in Probabilità, Università. Segui i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

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