Probabilità – Lez016 (teoria ed esempi semplici)

By l1nvx

Le tre funzioni sinora analizzate (funzione di ripartizione, di massa e di densità di probabilità) che consento di stabilire il modo in cui la probabilità si distribuisce sull’insieme dei valori assunti dalla variabile casuale semplice X, sono tra loro strettamente connesse.

Funz.ripartizione e PMF

Utilizzando delle opportune formule è possibile migrare da una funzione nell’altra e viceversa.

Formule di conversione dalla funzione di ripartizione in quella di massa e viceversa.

1. Dalla funzione di ripartizione a quella di massa:

$f_X\left (x_i\right ) = F_X\left (x_i\right ) - F_X\left (x_{i - 1}\right )$

Verifica: per definizione, il punto di discontinuità di prima specie (o salto) è la quantità pari alla differenza tra il valore assunto dalla funzione di ripartizione nel punto $x_i$ da destra e quello assunto in $x_i$ da sinistra, in simboli:

$\lim_{x \to x_i^+} F_X\left (x\right ) - \lim_{x \to x_i^-} F_X\left (x\right ) = F_X\left (x_i\right ) - F_X\left (x_i -\right ) =$

e non dimenticando il significato probabilistico,

$= P\left (X \le x_i\right ) - P\left (X \le x_i -\right ) =$

Sapendo inoltre che, alla probabilità che la variabile casuale semplice $X$ assuma valori minori minori o uguali ad $x_i$ da sinistra, corrisponde un intervallo di valori di $x$ (precisamente, $\left [x_{i - 1}, x_i\right )$ ) allora, in simboli:

$= P\left (X \le x_i\right ) - P\left (X \le x_{i - 1}\right ) = F_X\left (x_i\right ) - F_X\left (x_{i - 1}\right ) = f_X\left (x_i\right )$

cioé, ciò che si cercava.

2. Dalla funzione di massa a quella di ripartizione:

$F_X\left (x_i\right ) = \sum_{j = 1}^if_X\left (x_j\right )$

Verifica: la funzione di ripartizione misura la probabilità che la variabile casuale semplice $X$ assuma valori minori o uguali alle determinazioni $x_i$ ; in simboli:

$F_X\left (x_i\right ) = P\left (X \le x_i\right ) =$

Quest’ultima probabilità è a sua volta equivalente alla somma delle probabilità che la stessa variabile casuale assuma valori uguali agli $x_j$ ( $\forall j = 1, \dots, i$ ); in simboli:

$= \sum_{j = 1}^iP\left (X = x_j\right ) =$

ma per la definizione di funzione di massa, si ottiene in simboli:

$= \sum_{j = 1}^if_X\left (x_j\right )$

Formule di conversione dalla funzione di ripartizione in quella di densità e viceversa.

1. Dalla funzione di ripartizione a quella di densità:

$f_X\left (x\right ) = \frac{dF_X\left (x\right )}{dx}$

Verifica: la f_X è stata precedentemente definita come la funzione che consente di stabilire la probabilità che la variabile casuale semplice continua $X$ assuma valori in intervalli infinitesimi del tipo $\left (x, x+dx\right )$ ; in simboli:

$f_X\left (x\right ) = \lim_{dx \to 0}\left [\frac{P\left (x < \; X \le x + dx\right )}{dx}\right ]$

Per quanto detto circa la funzione di ripartizione, essa ci consente di stabilire la probabilità che la variabile casuale semplice $X$ assuma valori compresi in intervalli del tipo $\left (x,x+dx\right ]$ e tale probabilità si è dimostrato essere uguale alla differenza tra i valori assunti dalla $F_X$ in quei punti; in simboli:

$P\left (x < \; X \le x+dx\right ) = F_X\left (x+dx\right ) - F_X\left (x\right )$

Sostituendo nel suddetto limite si ottiene che la funzione di densità di probabilità della variabile semplice continua è pari al limite del rapporto incrementale $\frac{\Delta F_X}{dx}$ per $dx$ che va a zero; in simboli:

$f_X\left (x\right ) = \lim_{dx \to 0}\left [\frac{F_X\left (x+dx\right ) - F_X\left (x\right )}{dx}\right ]$

In poche parole, la derivata prima della funzione di ripartizione.

2. Dalla funzione di densità a quella di ripartizione:

$F_X\left (x\right ) = \int_a^xf\left (y\right ) dy$

che ovviamente deriva dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

Questo post è stato pubblicato il Luglio 2, 2009 alle 23:04 ed è archiviato in Probabilità, Università. Segui i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

Una Risposta a “Probabilità – Lez016 (teoria ed esempi semplici)”

p4cm4n Dice:
Luglio 2, 2009 alle 23:05 | Fare il login per replicare
…magari più tardi posto qualche immagine, ora so stanco! %’)

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