Esercizi Risolti di Probabilità (1)

In questo post, sono presenti una serie di esercizi (reperibili in rete), la cui discussione e risoluzione è stata necessaria alla comprensione della parte teorica (vista nei post precedenti) e pertanto, importante ai fini del superamento dell’esame di Probabilità.

Il 15% degli individui appartenenti ad una certa popolazione risulta fumatore. È noto inoltre che l’85% dei fumatori ed il 15% dei non fumatori sono affetti da una certa patologia respiratoria. Qual’è la probabilità che un certo individuo selezionato a caso dalla popolazione sia affetto da tale patologia?

Niente di più semplice (…fossero tutti così?!): si tratta di applicare la formula della probabilità marginale definita nella lezione 9.

Lo spazio campionario dell’esperimento casuale in gioco è così partizionato: F l’evento corrispondente alla popolazione fumatrice ed ovviamente C(F), l’evento corrispondente alla parte della popolazione non fumatrice. I due eventi verificano le tre condizioni del partizionamento:

Rappresentazione grafica dell'esempio

1. sono entrambi non impossibili
2. sono incompatibili (o mutualmente esclusivi)
3. sono esaustivi

o alternativamente, in simboli:

1. F, C(F) ≠ Ø
2. F ∩ C(F) = C(F) ∩ F = Ø
3. F ∪ C(F) = C(F) ∪ F = Ω

Sia M l’evento corrispondente alla malattia respiratoria; questa colpisce (in percentuali diverse) sia la parte della popolazione fumatrice che quella non fumatrice.

Qual’è la probabilità che un certo individuo selezionato a caso dalla popolazione sia affetto da tale patologia? (…in parole povere: quanto è la probabilità marginale di M?)

In simboli:

P(M) = P(M ∩ Ω) =

ma, essendo lo spazio campionario partizionato, lo si può sostituire con i sottoinsiemi esaustivi della famiglia (cioé, F e C(F)) ottenendo, in simboli:

= P{M ∩ [F ∪ C(F)]} =

risolvendo la distributiva della intersezione rispetto alla unione si ottiene, in simboli:

= P{[M ∩ F] ∪ [M ∩ C(F)]} =

dato che si tratta di eventi incompatibili, si può applicare alla probabilità dell’unione il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi, ottenendo che equivale alla somma delle singole probabilità congiunte; in simboli:

= P[M ∩ F] + P[M ∩ C(F)] =

Infine, applicando il principio delle probabilità composte alle singole congiunte si ottiene, in simboli:

= P(F)P(M/F) + P[C(F)]P[M/C(F)] =

che è la formula cercata (probabilità marginale in funzione della condizionata).

Dati noti:

• P(F) = probabilità evento fumatori = 15%
• P(M/F) = probabilità evento malattia condizionata dai fumatori = 85%
• P[M/C(F)] = probabilità evento malattia condizionata dai non fumatori = 15%
• P[C(F)] = probabilità evento non fumatori =
  applicando la regola dell’evento complementare si ottiene, in simboli:
  = 1 – P(F) =
  = 100% – 15% = 85%

Sostituendo le probabilità con i valori noti, si ottiene che la probabilità che un individuo qualunque sia malato è, in simboli:

= (15%)(85%) + (85%)(15%) =

= 25.5%

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Ogni anno un’azienda immette sul mercato un gran numero di nuovi prodotti. Prima dell’immissione sul mercato, il prodotto viene giudicato da un campione di potenziali clienti. In passato, il 95% dei prodotti che hanno poi avuto un elevato successo ha ricevuto un giudizio positivo dal campione; il 60% dei prodotti di successo moderato e il 10% dei prodotti di scarso successo hanno anche ricevuto un giudizio positivo. Dall’esperienza pregressa, si sa, inoltre, che il 40% dei nuovi prodotti immessi sul mercato dall’azienda sono stati di successo elevato, il 35% di successo moderato e il 25% di scarso successo.

1. Quale è la probabilità che un nuovo prodotto ottenga un giudizio positivo dal campione?
2. Se un nuovo prodotto è giudicato positivamente dal campione, quale è la probabilità che abbia poi un elevato successo?
3. Quale è la probabilità che il prodotto abbia uno scarso successo se giudicato negativamente dal campione?

Innanzitutto si esaminano i dati in possesso.

Rappresentazione grafica dell'esempio

Legenda:

• P(ES) = probabilità evento prodotti di successo elevato = 40%
• P(SM) = probabilità evento prodotti di successo moderato = 35%
• P(SS) = probabilità evento prodotti di scarso successo = 25%
• P(GP/ES) = 95%
• P(GP/SM) = 60%
• P(GP/SS) = 10%

Lo spazio campionario dato da i nuovi prodotti esaminati dall’azienda, è così partizionabile; in simboli:

1. ES, SM, SS ≠ Ø
2. ES ∩ (SM ∩ SS) = (ES ∩ SM) ∩ SS = Ø
3. ES ∪ (SM ∪ SS) = (ES ∪ SM) ∪ SS = Ω

1. Quale è la probabilità che un nuovo prodotto ottenga un giudizio positivo dal campione?

Serve determinare la probabilità marginale dell’evento prodotto giudicato positivamente dal campione; in simboli:

P(GP) = P(GP ∩ Ω) =

ma, essendo lo spazio campionario partizionato, lo si può sostituire con i sottoinsiemi esaustivi della famiglia (cioé, ES, SM e SS) ottenendo, in simboli:

= P{GP ∩ [ES ∪ (SM ∪ SS)]} =

risolvendo la distributiva della intersezione rispetto alla unione si ottiene, in simboli:

= P[(GP ∩ ES) ∪ (GP ∩ SM) ∪ (GP ∩ SS)] =

dato che si tratta di eventi incompatibili, si può applicare alla probabilità dell’unione il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi, ottenendo che equivale alla somma delle singole probabilità congiunte; in simboli:

= P(GP ∩ ES) + P(GP ∩ SM) + P(GP ∩ SS) =

Infine, applicando il principio delle probabilità composte alle singole congiunte si ottiene, in simboli:

= P(ES)P(GP/ES) + P(SM)P(GP/SM) + P(SS)P(GP/SS) =

che è la formula cercata (probabilità marginale in funzione della condizionata).

Sostituendo le probabilità con i valori noti, si ottiene che la probabilità che un prodotto nuovo sia giudicato positivamente è, in simboli:

= (40%)(95%) + (35%)(60%) + (25%)(10%) =

= 61.5%

2. Se un nuovo prodotto è giudicato positivamente dal campione, quale è la probabilità che abbia poi un elevato successo?

Ciò che qui interessa è determinare la probabilità che l’evento prodotto di elevato successo si verifichi condizionatamente all’evento prodotto giudicato positivamente dal campione; in simboli:

P(ES/GP)

Applicando il principio delle probabilità condizionate si ottiene che quest’ultima, equivale al rapporto tra la probabilità congiunta P(ES ∩ GP) e la probabilità marginale dell’evento condizionante P(GP); in simboli:

P(ES/GP) = P(ES ∩ GP) / P(GP) =

Applicando al numeratore il principio delle probabilità composte, si ottiene che equivale al prodotto tra la probabilità a priori P(ES) e la probabilità probativa P(GP/ES); in simboli:

= P(ES)P(GP/ES) / P(GP) =

Sostituendo le probabilità con i valori noti, si ottiene che la probabilità cercata è, in simboli:

= (40%)(95%) / (61.5%) =

= 61.8%

3. Quale è la probabilità che il prodotto abbia uno scarso successo se giudicato negativamente dal campione?

Ciò che qui interessa è determinare la probabilità che l’evento prodotto di scarso successo si verifichi condizionatamente all’evento prodotto giudicato negativamente dal campione; in simboli:

P[SS/C(GP)]

…e si, BAYES ancora una volta!

Prima di procedere, però, è necessario determinare la probabilità del complementare dell’evento prodotto giudicato positivamente dal campione e la probabilità del verificarsi dell’evento prodotto giudicato negativamente dal campione condizionato dall’evento prodotto di scarso successo; per fare queste cose, è sufficiente applicare la regola dell’evento complementare; in simboli:

P[C(GP)] = 1 – P(GP) = 100% – 61.5% = 38.5%

P[C(GP)/SS] = 1 – P(GP/SS) = 100% – 10% = 90%

Infine, applicando la formula del teorema di bayes già vista sopra, in simboli:

P[SS/C(GP)] = P(SS)P[C(GP)/SS] / P[C(GP)] =

si ottiene il risultato cercato:

= (25%)(90%) / (38.5%) = 58.4%

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Un negoziante ha una dozzina di motorini elettrici, due dei quali difettosi. Un cliente è interessato all’acquisto dell’intera dozzina. Il negoziante può imballare tutti i motorini in una scatola oppure dividerli fra due scatole di sei motorini ciascuna, sapendo che il cliente proverà due dei dodici motorini prendendone uno da ciascuna scatola se essi sono imballati in due scatole. Quale è la probabilità che il cliente scopra almeno un motorino difettoso, per ciascuna delle tre seguenti strategie:

• una sola scatola;
• due scatole e un motorino difettoso in ciascuna scatola;
• due scatole ed entrambi i motorini difettosi in una scatola.

Nel (1°) caso in cui il cliente estragga i due motorini da una sola scatola, lo spazio campionario complessivo è così partizionabile:

1. S, C(S) ≠ Ø
2. S ∩ C(S) = C(S) ∩ S = Ø
3. S ∪ C(S) = S ∪ C(S) = Ω

dove il simbolo S sta’ per motorino sano.

Alla prima estrazione si possono ottenere gli eventi motorino sano o guasto con probabilità classica rispettivamente pari a 10/12 e 2/12; in simboli:

• P(S₁) = 10/12 = 5/6
• P[C(S₁)] = 2/12 = 1/6

Alla seconda estrazione si possono ottenere i seguenti eventi condizionati (probabilità indicate); in simboli:

• P(S₂/S₁) = 9/11
• P[C(S₂)/S₁] = 2/11
• P[S₂/C(S₁)] = 10/11
• P[C(S₂)/C(S₁)] = 1/11

1. Quale è la probabilità che il cliente scopra almeno un motorino difettoso, in una scatola?

Ciò che serve è la probabilità della unione dei tre eventi {S₁ ∩ [C(S₂)/S₁]}, {C(S₁) ∩ [S₂/C(S₁)]} e {C(S₁) ∩ [C(S₂)/C(S₁)]}; poichè si ha a che fare con eventi incompatibili, si può applicare il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi alla probabilità dell’unione ottenendo che equivale alla somma delle singole congiunte, in simboli:

P{{S₁ ∩ [C(S₂)/S₁]} ∪ {C(S₁) ∩ [S₂/C(S₁)]} ∪ {C(S₁) ∩ [C(S₂)/C(S₁)]}} = P{S₁ ∩ [C(S₂)/S₁]} + P{C(S₁) ∩ [S₂/C(S₁)]} + P{C(S₁) ∩ [C(S₂)/C(S₁)]} =

ed essendo i suddetti eventi indipendenti, è possibile applicare alle singole probabilità congiunte, il principio delle probabilità composte per eventi indipendenti, ottenendo in simboli:

= P(S₁) P[C(S₂)/S₁] + P[C(S₁)] P[S₂/C(S₁)] + P[C(S₁)] P[C(S₂)/C(S₁)] =

Infine, sostituendo i valori noti delle singole probabilità marginali, si ottiene il risultato cercato:

= (5/6)(2/11) + (1/6)(10/11) + (1/6)(1/11) = 21/66

Nel (2°) caso in cui il cliente estrae i due motorini da due scatole, lo spazio campionario complessivo è dato dal prodotto cartesiano di Ω per se stesso (contengono gli stessi punti campionari), in simboli:

Ω_A := {S_A,S_A,S_A,S_A,S_A,C[S_A]}

Ω_B := {S_B,S_B,S_B,S_B,S_B,C[S_B]}

Ω² = Ω x Ω := {(S_A,S_B), (S_A,S_B), …, etc}

Alla prima estrazione si possono ottenere gli eventi motorino sano o guasto con probabilità classica rispettivamente pari a, in simboli:

• P(S_A) = P(S_B) = 5/6
• P[C(S_A)] = P[C(S_B)] = 1/6

2. Quale è la probabilità che il cliente scopra almeno un motorino difettoso, in due scatole ed un motorino difettoso in ciascuna scatola?

Ciò che serve è la probabilità della unione dei tre eventi [S_A ∩ C(S_B)], [C(S_A) ∩ S_B] e [C(S_A) ∩ C(S_B)]; poichè si ha a che fare con eventi incompatibili, si può applicare il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi alla probabilità dell’unione ottenendo che equivale alla somma delle singole congiunte, in simboli:

P{[S_A ∩ C(S_B)] ∪ [C(S_A) ∩ S_B] ∪ [C(S_A) ∩ C(S_B)]} = P[S_A ∩ C(S_B)] + P[C(S_A) ∩ S_B] + P[C(S_A) ∩ C(S_B)] =

ed essendo i suddetti eventi indipendenti, è possibile applicare alle singole probabilità congiunte, il principio delle probabilità composte per eventi indipendenti, ottenendo in simboli:

= P(S_A) P[C(S_B)] + P[C(S_A)] P(S_B) + P[C(S_A)] P[C(S_B)] =

Infine, sostituendo i valori noti delle singole probabilità marginali, si ottiene il risultato cercato:

= (5/6)(1/6) + (1/6)(5/6) + (1/6)(1/6) = 11/36

Nel (3°) caso in cui il cliente estrae i due motorini da due scatole, lo spazio campionario complessivo è dato dal prodotto cartesiano di Ω per se stesso (contengono gli stessi punti campionari), in simboli:

Ω_A := {S_A,S_A,S_A,S_A,C(S_A),C(S_A)}

Ω_B := {S_B,S_B,S_B,S_B,S_B,S_B}

Ω² = Ω x Ω := {(S_A,S_B), (S_A,S_B), …, etc}

Alla prima estrazione si possono ottenere gli eventi motorino sano o guasto con probabilità classica rispettivamente pari a, in simboli:

• P(S_A) = 4/6 = 2/3
• P[C(S_A)] = 2/6 = 1/3
• P(S_B) = 6/6 = 1
• P[C(S_B)] = 1 -  P(S_B) = 0

3. Quale è la probabilità che il cliente scopra almeno un motorino difettoso, in due scatole ed entrambi i motorini difettosi in una scatola?

Ciò che serve è la probabilità dell’evento intersezione [C(S_B) ∩ S_A].

Essendo i suddetti eventi indipendenti, è possibile applicare alla singola probabilità congiunta, il principio delle probabilità composte per eventi indipendenti, ottenendo in simboli:

P[C(S_B) ∩ S_A] = P[C(S_B)] P(S_A) =

Infine, sostituendo i valori noti delle singole probabilità marginali, si ottiene il risultato cercato:

= (1/3)(1) = 1/3

Tag: Esercizi, Eventi indipendenti, Probabilità, Probabilità Marginale, Teorema di Bayes