Probabilità – Lez015 (teoria ed esempi semplici)

By l1nvx

Riprendendo il discorso interrotto nella lezione precedente circa il difetto della funzione di massa di probabilità della variabile casuale semplice discreta $X$ (non è definita per variabili casuali continue), si prova ora a capire il perché di questo fatto.

Funzione di ripartizione (continuo)

Ricordando le proprietà di cui gode la $F_X$ :

Una funzione monotona ammette limite destro e sinistro in ogni suo punto; in simboli:

$\lim_{x \to x_0^+}F_X\left (x\right ) = F_X\left (x_0\right )$
$\lim_{x \to x_0^-}F_X\left (x\right ) = F_X\left (x_0^-\right )$

Ovviamente tali valori possono differire fra loro, allora, in corrispondenza del punto $x_0$ è presente un punto di discontinuità del primo tipo, che è determinabile sottraendo i suddetti valori (sensa scordarsi del significato probabilistico); in simboli:

$\lim_{x \to x_0^+}F_X\left (x\right ) - \lim_{x \to x_0^-}F_X\left (x\right ) = F_X\left (x_0\right ) - F_X\left (x_0^-\right ) = P\left (X = x_0\right ) = f_X\left (x_0\right )$

Nel continuo, il limite per $x$ che tende ad $x_0$ da destra e da sinistra è sempre pari a $F_X\left (x_0\right )$ , risultato ovvio dato che la $F_X$ è assolutamente continua (cioé, continua e derivabile ovunque); in simboli:

$\lim_{x \to x_0^+}F_X\left (x\right ) = F_X\left (x_0\right )$
$\lim_{x \to x_0^-}F_X\left (x\right ) = F_X\left (x_0^-\right ) = F_X\left (x_0\right )$

$= \lim_{x \to x_0^+}F_X\left (x\right ) - \lim_{x \to x_0^-}F_X\left (x\right ) = F_X\left (x_0\right ) - F_X\left (x_0^-\right ) =$

$= P\left (X = x_0\right ) = f_X\left (x_0\right ) = 0$

Da quanto concluso sopra, segue che nel continuo non ha senso determinare la probabilità su ciascun valore assunto dalla variabile casuale semplice $X$ (visto che sempre nulla), ma è corretto parlare di probabilità che la variabile aleatoria assuma valori in un intervallo, anche piccolissimo, del tipo $\left (x,x+dx\right ]$ . O meglio, la cosa che più importa è valutare quanto cambia la probabilità da un valore all’altro, cioé, interessa il rapporto incrementale $\frac{P\left (x < \; X \le \; x+dx\right )}{dx}$

Data la variabile casuale continua $X$ che assume valori nell’intervallo $\left (a,b\right )$ eventualmente con $a = -\infty$ e $b = +\infty$ ,

Funzione di densità di probabilità (o PDF, che sta per Probability Density Function): è la funzione dall’insieme $R$ in $R$ che ad ogni reale associa il limite per $dx$ che tende a $0$ , del rapporto tra la probabilità che la variabile casuale assuma valori nell’intervallo $\left (x,x+dx\right )$ e l’ampiezza $dx$ . In simboli:

$f_X: R \to R: x \to \lim_{dx \to 0}\left [\frac{P\left (x < \; X \le \; x+dx\right )}{dx}\right ]$

Funzione di densità

Ovviamente, anche la PDF, come la funzione di ripartizione gode di diverse proprietà:

$f_X\left (x\right ) \ge \; 0$
$\int_a^bf_X\left (x\right )dx = 1$

Esempio: la funzione di densità della variabile casuale semplice $X$ è la seguente, in simboli:

$f_X\left (x\right ) = \beta\sqrt{x}\;per\;1 \le \; x \le \; 2$

Determinare il valore di $\beta$ .

Da quanto detto sopra, l’integrale nell’insieme di definizione della funzione di densità di probabilità deve essere pari all’unità, pertanto, in simboli:

$\int_1^2\beta\sqrt{x} = 1$

$\beta$ si può portare fuori dall’integrale in quanto costante,

$\beta\int_1^2x^{\frac{1}{2}} = 1$

risolvendo l’integrale $\int x^ndx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$

$\beta\left [\frac{2}{3}\left (x^{\frac{3}{2}}\right )\right ]_1^2 = 1$

$\beta\left [\frac{2}{3}\left (2^{\frac{3}{2}}\right ) - \frac{2}{3}\left (1^{\frac{3}{2}}\right )\right ] = 1$

risolvendo l’uguaglianza si trova il valore di $\beta$ .

Tag: Funzione di densità di probabilità, PDF, Probability Density Function

Questo post è stato pubblicato il Giugno 21, 2009 alle 01:41 ed è archiviato in Probabilità, Università. Segui i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

Una Risposta a “Probabilità – Lez015 (teoria ed esempi semplici)”

p4cm4n Dice:
Giugno 29, 2009 alle 22:17 | Fare il login per replicare
…aggiornate tutte le formule in LaTeX.

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L1nvx