Probabilità – Lez014 (teoria ed esempi semplici)

By l1nvx

Data la variabile casuale discreta $X$ che assume valori $x_i$ con $i = 1, 2, \ldots, n$ (ed eventualmente $n = \infty$ , se il supporto o rango della funzione è un insieme con cardinalità infinita numerabile, cioé se l’insieme di valori che la variabile casuale può assumere, è un insieme costituito da un numero infinito numerabile di numeri reali)

Funzione di Massa di Probabilità (o PMF, che sta per Probability Mass Function): è la funzione $f_X$ dall’insieme dei reali nei reali positivi, che ad ogni elemento associa la probabilità che la variabile casuale discreta $X$ assuma valori uguali al reale $x$ ; in simboli:

$f_X: R \to R^+ : x \to P\left (X = x \right ) = f_X\left (x\right )$

o meglio, è la funzione che vale zero, per ogni reale non appartenente al supporto $S_X$ ed è pari alla probabilità che la variabile casuale discreta $X$ assuma valori uguali alle determinazioni $x_i$ , per tutti gli $x_i$ appartenenti al rango $S_X$ ; in simboli:

$f_X : = \left \{\begin{matrix} 0\;per\;x \notin S_X \\ P\left (X = x_i\right ) = f_X\left (x_i\right ) = p\left (x_i\right )\;per\;x_i \in S_X\end{matrix}\right.$

Ovviamente, anche la PMF, come la funzione di ripartizione gode di diverse proprietà; dato che si tratta di una probabilità, valgono, in simboli:

$0 \le \; f_X\left (x_i\right ) \le \; 1$
$\sum_{i = 1}^nf_X\left (x_i\right ) = 1$

Esempio: si consideri l’esperimento casuale lancio di una moneta bilanciata con spazio campionario $\Omega$ costituito dai seguenti punti campionari: Croce e Testa. In simboli:

$\Omega := \left \{C,T\right \}$

Si assume come variabile casuale semplice discreta la funzione $X$ da $\Omega$ in $R$ che ad ogni punto dello spazio (croce e testa) associa uno ed un solo numero reale, ad esempio, $0$ a $C$ ed $1$ a $T$ ; in simboli:

$\left \{\begin{matrix}X\left (C\right ) = 0 \\ X\left (T\right ) = 1\end{matrix}\right.$

e tale che sia vera la condizione $A_1$ è un evento, dove $A_1$ è l’insieme dei punti dello spazio campionario per i quali il valore assunto dalla funzione in quei punti è minore o uguale a $1$ ; in simboli:

$A_1 \in P\left (\omega\right )\;dove\;A_1 := \left \{\omega \in \Omega : X\left (\omega \right ) \le \; 1\right \}$

N.B.: si ricorda che dire $X\left (\omega\right )$ è minore o uguale a 1, equivale a dire che $X\left (\omega\right )$ appartiene all’intervallo aperto a sinistra $\left (-\infty,1\right ]$ .

Funzione di Massa di Probabilità della v.c. discreta X

La sua funzione di massa di probabilità è quella che è pari a zero per ogni reale non appartenente al supporto (cioè i valori reali diversi da $0\;ed\;1$ ) ed è pari a $\frac{1}{2}$ per ogni punto del supporto; difatti, la probabilità che la $X$ assuma valore $0$ (cioé che esca testa) è $\frac{1}{2}$ e cosippure la probabilità che $X$ assuma valore $1$ (esca croce). In simboli:

$f_X := \left \{\begin{matrix} 0\;per\;x \notin S_X \\ \frac{1}{2} = f_X\left (1\right ) = P\left (X = 1\right )\;per\;1 \in S_X \\ \frac{1}{2} = f_X\left (0\right ) = P\left (X = 0 \right )\;per\;0 \in S_X\end{matrix}\right.$

In conclusione, si analizzano i pregi ed i difetti della funzione di massa.

PREGI: non è riferita ad intervalli del tipo $\left (-\infty,x\right ]$ come quella di ripartizione, ma dice esattamente come la probabilità si comporta su ciascuna determinazione .

DIFETTI: non è definita per variabili casuali continue. Per ovviare a questo limite, è stata introdotta una nuova funzione, la densità di probabilità (PDF o Probability Density Function) che si vedrà nella lezione successiva.

Tag: Funzione di massa di probabilità, PMF, Probability Mass Function

Questo post è stato pubblicato il Giugno 15, 2009 alle 20:16 ed è archiviato in Probabilità, Università. Segui i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

Una Risposta a “Probabilità – Lez014 (teoria ed esempi semplici)”

p4cm4n Dice:
Giugno 30, 2009 alle 12:33 | Fare il login per replicare
…aggiornate tutte le formule in LaTeX.

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L1nvx