Probabilità – Lez013 (teoria ed esempi semplici)

By l1nvx

Data la Variabile Casuale Semplice $X$ , la

Funzione di distribuzione (o di ripartizione o delle probabilità cumulate): è la funzione dall’insieme dei reali nell’intervallo chiuso $\left [0, 1\right ]$ , che ad ogni numero reale associa la probabilità che la variabile casuale semplice X assuma valori minori o uguali del reale x.

Traducendo quanto detto in simboli:

$F_X: R \to \left [0, 1\right ]: x \to F_X\left (x\right ) = P\left (X \le x\right )$

In parole povere, la funzione di ripartizione misura la probabilità dell’evento $A_X$ , come si evince dai passi seguenti:

$P\left (A_X\right ) =$

$= P\left [\omega \in \Omega:X\left (\omega\right ) \le x\right ] =$

$= P\left [X\left (\omega\right ) \le x\right ] =$

$= P\left (X \le x\right )$

La funzione di ripartizione gode di diverse proprietà:

$0 \le F_X\left (x\right ) \le 1$
$\lim_{x \to +\infty}F_X\left (x\right ) = 1$
$\lim_{x \to -\infty}F_X\left (x\right ) = 0$
$\forall x_1, x_2 \in R\;\mbox{se}\;x_1 < x_2 \to F_X\left (x_1\right ) \le F_X\left (x_2\right )$ – è cioé, monotona non decrescente
N.B.: Tale condizione può essere espressa anche in questo modo: $\frac{F_X\left (x_2\right ) - F_X\left (x_1\right )}{x_2 - x_1} \ge 0$ . Se fosse stato $\le$ si sarebbe parlato di funzione non crescente, se $>$ di funzione strettamente non decrescente ed infine se $<$ di funzione strettamante non crescente; in ogni caso, questo tipo di funzioni sono dette monotone.
$P\left (x_1 < X \le x_2\right ) = F_X\left (x_2\right ) - F_X\left (x_1\right )$ – cioé, consente di stabilire la probabilità che la variabile casuale semplice X assuma valori compresi in intervalli del tipo $\left (x_1, x_2\right ]$ .

Funzione di ripartizione (discreto)

Nel DISCRETO:

$\lim_{x \to x_o^+}F_X\left (x\right ) = F_X\left (x_0\right )$ - cioé, la funzione delle probabilità cumulate è continua a destra.
N.B.: Tale condizione può essere espressa anche in questo modo: per ogni successione $\left \{x_n\right \}$ convergente a $x_0$ si ha, in simboli,
$\lim_{n \to +\infty}F_X\left (x_n\right ) = F_X\left (\lim_{n \to +\infty}x_n\right ) = F_X\left (x_0\right )$

$\lim_{x \to x_0^+}F_X\left (x\right ) = F_X\left (x_0\right )\;\mbox{e}\;\lim_{x \to x_0^-}F_X\left (x\right ) \ne F_X\left (x_0\right )$ - cioé, la funzione delle probabilità cumulate presenta dei punti di discontinuità di 1° specie (o salti) in corrispondenza delle determinazioni $x_i$ assunte dalla variabile casuale (con $i = 1, 2, \ldots, n$ ).
N.B.: In particolare, si chiama salto la quantità pari alla differenza tra i limiti; in simboli:
$\lim_{x \to x_0^+}F_X\left (x\right ) - \lim_{x \to x_0^-}F_X\left (x\right )$
che si possono denotare anche in questo modo (senza dimenticarsi del loro significato probabilistico):
$F_X\left (x_0\right ) - F_X\left (x_0-\right ) = P\left (X = x_0\right ) = f_X\left (x_0\right )$ *

Funzione di ripartizione (continuo)

Nel CONTINUO:

la funzione delle probabilità cumulate è assolutamente continua, cioé, è continua e derivabile ovunque.

Si verificano, adesso, alcune delle suddette proprietà.

$\forall x_1, x_2 \in R\;\mbox{se}\;x_1 < x_2 \to F_X\left (x_1\right ) \le F_X\left (x_2\right )$

Funzione monotona non decrescente

Partendo dalla definizione di variabile casuale semplice, deve essere, in questo caso specifico, A_x₂un evento; in simboli:

$A_{x_2} := \left \{\omega \in \Omega: X\left (\omega\right ) \le x_2\right \} \in P\left (\Omega\right )$

ma $A_{x_2}$ può essere pensato come l’unione di due eventi incompatibili; in simboli:

$= \left \{\omega \in \Omega: X\left (\omega\right ) \le x_1\right \} \cup \left \{\omega \in \Omega: x_1 < X\left (\omega\right ) \le x_2\right \} =$

In particolare, il primo evento si può denotare con $A_{x_1}$ :

$= A_{x_1} \cup \left \{\omega \in \Omega: x_1 < X\left (\omega\right ) \le x_2\right \}$

Da quest’ultima formula, si deduce che $A_{x_1}$ è incluso propriamente in $A_{x_2}$ ; in simboli:

$A_{x_1} \subset A_{x_2}$

Per la monotonia, segue che, in simboli:

$A_{x_1} \subset A_{x_2} \to P\left (A_{x_1}\right ) < P\left (A_{x_2}\right )$

Per la definizione di funzione di ripartizione $P\left (A_{x_2}\right ) = F_X\left (x_2\right )\;\mbox{e}\;P\left (A_{x_1}\right ) = F_X\left (x_1\right )$ ; sostituendo nella precedente si ottiene la formula cercata:

$F_X\left (x_1\right ) < F_X\left (x_2\right )$

$P\left (x_1 < X\left (\omega\right ) \le x_2\right ) = F_X\left (x_2\right ) - F_X\left (x_1\right )$

Partendo dalla definizione di variabile casuale semplice, deve essere, in questo caso specifico, $A_{x_2}$ un evento; in simboli:

$A_{x_2} := \left \{\omega \in \Omega: X\left (\omega\right ) \le x_2\right \}$

ma $A_{x_2}$ può essere pensato come l’unione di due eventi incompatibili; in simboli:

$= \left \{\omega \in \Omega: X\left (\omega\right ) \le x_1\right \} \cup \left \{\omega \in \Omega: x_1 < X\left (\omega\right ) \le x_2\right \} =$

In particolare, il primo evento si può denotare con $A_{x_1}$ :

$= A_{x_1} \cup \left \{\omega \in \Omega: x_1 < X\left (\omega\right ) \le x_2\right \}$

Passando alle probabilità:

$P\left (A_{x_2}\right ) = P\left \{\left (A_{x_1}\right ) \cup P\left [\omega \in \Omega: x_1 < X\left (\omega\right ) \le x_2\right ]\right \}$

Essendo i due eventi incompatibili, è possibile applicare alla probabilità della unione il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi ottenendo che la suddetta probabilità equivale alla somma delle singole probabilità marginali (da qui, la definizione di probabilità cumulate della $F_X$ ); in simboli:

$P\left (A_{x_2}\right ) = P\left (A_{x_1}\right ) + P\left [x_1 < X\left (\omega\right ) \le x_2\right ]$

Per definizione di funzione di ripartizione, $P\left (A_{x_2}\right ) = F_X\left (x_2\right )\;\mbox{e}\;P\left (A_{x_1}\right ) = F_X\left (x_1\right )$ ; sostituendo nella precedente si ottiene la formula cercata:

$P\left (x_1 < X\left (\omega\right ) \le x_2\right ) = F_X\left (x_2\right ) - F_X\left (x_1\right )$

Esempio (discreto): si consideri l’esperimento casuale lancio di una moneta bilanciata con spazio campionario $\Omega$ costituito dai seguenti punti campionari: Croce e Testa. In simboli:

$\Omega := \left \{C,T\right \}$

N.B.: si tratta di uno spazio campionario con cardinalità finita, in quanto, l’insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento casuale è costituito da un numero finito di elementi (… giusto per non dimenticare quanto appreso nelle lezioni precedenti )

Si assume come variabile casuale semplice la funzione $X$ da $\Omega$ in $R$ che ad ogni punto dello spazio (croce e testa) associa uno ed un solo numero reale, ad esempio, $0\;\mbox{a}\;C\;\mbox{ed}\;1\;\mbox{a}\;T$ ; in simboli:

$\left \{\begin{matrix} X\left (C\right ) = 0\\X\left (T\right ) = 1\end{matrix}\right.$

e tale che sia vera la condizione $A_1$ è un evento, dove $A_1$ è l’insieme dei punti dello spazio campionario per i quali il valore assunto dalla funzione in quei punti è minore $o$ uguale a $1$ ; in simboli:

$A_1 \in P\left (\Omega\right )\;\mbox{dove}\;A_1 := \left \{\omega \in \Omega: X\left (\omega\right ) \le 1\right \}$

N.B.: si ricorda che dire $X\left (\omega\right )$ è minore $o$ uguale a $1$ , equivale a dire che $X\left (\omega\right )$ appartiene all’intervallo aperto a sinistra $\left (-\infty,1\right ]$ .

Il dominio della funzione è dato dai punti dello spazio campionario mentre il supporto $S_X$ (cioé, l’insieme di valori che la variabile casuale assume) è dato dai numeri reali $0\;\mbox{e}\;1$ . Da quest’ultima considerazione, appare chiaro il fatto che si ha a che fare con una variabile casuale discreta.

La funzione di ripartizione $F_X$ della variabile casuale discreta $X$ sarà per quanto detto sopra la probabilità dell’evento $A_1$ ; in simboli:

$F_X = P\left (A_1\right ) = P\left [\omega \in \Omega: X\left (\omega\right ) \le 1\right ]$

ma l’evento $A$ può essere pensato come l’unione di due eventi incompatibili, in simboli:

$F_X = P\left (A_1\right ) = P\left \{\omega \in \Omega: X\left (\omega\right ) \le 1\right \} =\\= P\left \{\left [\omega \in \Omega: X\left (\omega\right ) \le 0\right ] \cup \left [\omega \in \Omega: 0 < X\left (\omega\right ) \le 1\right ]\right \}$

applicando il principio delle probabilità totali per eventi mutualmente esclusivi alla probabilità dell’unione, si ottiene che quest’ultima equivale alla somma delle singole probabilità marginali, in simboli:

$= P\left [\omega \in \Omega: X\left (\omega\right ) \le 0\right ] + P\left [\omega \in \Omega: 0 < X\left (\omega\right ) \le 1\right ]$

Funzione di ripartizione della v.c. discreta X

Calcolando le probabilità, segue che la $F_X$ per la variabile casuale semplice discreta che associa a Testa $0\;\mbox{ed}\;1$ a Croce è in simboli:

$F_X := \left \{\begin{matrix}P\left (X \ge 1\right ) = 1\\P\left (0 \le X < 1\right ) = \frac{1}{2}\\P\left (X < 0\right ) = 0\end{matrix}\right.$

In conclusione, si analizzano i pregi ed i difetti della funzione di ripartizione.

PREGI: è definita sia per variabili casuali discrete che continue.

DIFETTI: spesso si è interessati a conoscere il modo in cui la probabilità si distribuisce su ciascun valore assunto dalla variabile casuale e non alla probabilità riferita ad intervalli del tipo $\left (-\infty, x\right ]$ . Per ovviare a questo limite, è stata introdotta una nuova funzione, la massa di probabilità (PMF o Probability Mass Function) che si vedrà nella lezione successiva.

*la $f_X\left (x_0\right ) = P\left (X = x_0\right )$ è la PMF, la funzione che misura la probabilità che la variabile casuale semplice discreta $X$ assuma valori uguali ad $x_0$ .

Tag: Funzione delle probabilità cumulate, Funzione di distribuzione, Funzione di ripartizione

Questo post è stato pubblicato il Giugno 9, 2009 alle 21:52 ed è archiviato in Probabilità, Università. Segui i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

Una Risposta a “Probabilità – Lez013 (teoria ed esempi semplici)”

p4cm4n Dice:
Luglio 7, 2009 alle 22:32 | Fare il login per replicare
…aggiornate tutte le formule in LaTeX.

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