Probabilità – Lez012 (teoria ed esempi semplici)

By l1nvx

Si introduce, adesso, il concetto di variabile casuale partendo dal caso più semplice ad una dimensione.

Dato lo Spazio Probabilistico $\left [\Omega, P\left (\Omega\right ), P\left (.\right )\right ]$ dove $\Omega$ è lo spazio campionario dell’esperimento casuale osservato, $P\left (\Omega\right )$ lo spazio degli eventi su cui è definita l’algebra degli eventi generata da $\Omega$ e $P\left (.\right )$ la probabilità definita sugli elementi dello spazio degli eventi:

Variabile Casuale (Aleatoria o Stocastica) ad una dimensione (Univariata o Unidimensionale o Semplice): è la funzione $X$ che ad ogni punto $\omega$ dello spazio campionario $\Omega$ , associa uno ed un solo numero reale $X\left (\omega\right )$ tale che sia vera la condizione $A_X \in P\left (\Omega\right )$ (cioé, $A_X$ è un evento).

Variabile Casuale Semplice

In particolare, $A_X$ è l’ evento costituito dagli elementi di $\Omega$ , tali che il corrispondente valore assunto dalla funzione in quei punti, sia minore uguale del reale $x$ .

Traducendo quanto detto in simboli:

$X:\Omega \to R:\omega \to \exists! X\left (\omega\right )$

e tale che sia vera la seguente condizione:

$P\left (\Omega\right ) \ni A_X := \left \{\omega \in \Omega: X\left (\omega\right ) \le x \in R\right \}$

Dalla definizione si deduce che la variabile casuale consente di raggiungere due obbiettivi fondamentali:

trasformare i punti campionari in numeri reali – è molto più semplice lavorare con i reali piuttosto che con i punti campionari, sopratutto se si pensa al fatto che la loro natura cambia da un esperimento casuale ad un’altro.
trasferire la probabilità definita sugli eventi nei sottoinsiemi dei reali – questo obbiettivo viene conseguito imponendo la condizione $A_X \in P\left (\Omega\right )$ (cioè, $A_X$ è un evento). Segue che, $A_X$ è l’ evento costituito dai punti campionari di $\Omega$ tale che il valore assunto dalla funzione su di essi sia minore o uguale al reale $x$ ; ma dire che $X\left (\omega\right ) \le x$ e dire che i valori assunti dalla funzione nei punti dello spazio appartengono tutti all’intervallo aperto a sinistra $\left (-\infty, x\right ]$ (che è, appunto, un sottoinsieme dei reali) non cambia la sostanza delle cose .

Esempio n°1: si consideri l’esperimento casuale lancio di una moneta bilanciata con spazio campionario $\Omega$ costituito dai seguenti punti campionari: $C$ e $T$ (rispettivamente Croce e Testa). In simboli:

$\Omega := \left \{ C, T \right \}$

Si può assumere come variabile casuale semplice, la funzione $X$ da $\Omega$ in $R$ , che a ciascun punto dello spazio campionario $\left (C\;\mbox{e}\;T\right )$ associa un ed un solo numero reale, ad esempio a $C, 0$ ed a $T, 1$ ; in simboli:

$\left \{\begin{matrix} X\left (C\right ) = 0\\X\left (T\right ) = 1\end{matrix}\right.$

dove il dominio della funzione $X$ è dato dai punti dello spazio campionario $\Omega$ , mentre il supporto (o rango) della funzione, cioè l’insieme dei valori assunti dalla variabile casuale semplice, è dato da $1\;\mbox{e}\;0$ ; in simboli:

$Dom\left (X\right ) := \Omega := \left \{C, T\right \}$

$S_X := \left \{0, 1\right \}$

Esempio n°2: si consideri l’esperimento casuale lancio contemporaneo di due monete bilanciate con spazio campionario complessivo pari ad $\Omega^2$ (cioè, il prodotto cartesiano tra gli spazi dei singoli lanci); in simboli:

$\Omega^2 = \Omega \times \Omega := \left \{\left (C,C\right ),\left (C,T\right ),\left (T,C\right ),\left (T,T\right )\right \}$

Si può assumere come variabile casuale semplice la funzione $X$ dallo spazio campionario in $R$ , che a ciascun punto campionario dello spazio (le coppie ordinate $CC, CT, TC\;\mbox{e}\;TT$ ) associa il numero di teste risultante. In simboli:

$X: \Omega^2 \to R:$

$X\left (C,C\right ) = 0$

$X\left [\left (C,T\right ), \left (T,C\right )\right ] = 1$

$X\left (T,T\right ) = 2$

$S_X := \left \{0, 1, 2\right \}$

$Dom\left (X\right ) := \Omega^2 := \left \{\left (C,C\right ),\left (C,T\right ),\left (T,C\right ),\left (T,T\right )\right \}$

Esempio n°3: si consideri l’esperimento casuale lancio di un dado non truccato con spazio campionario $\Omega$ costituito dalle facce del dado contrassegnate dai numeri da $1$ a $6$ ; in simboli:

$\Omega := \left \{1, 2, 3, 4, 5, 6\right \}$

N.B.: si sono indicati i punti campionari con i numeri da $1$ a $6$ , vista la difficoltà di riprodurre le facce contrassegnate con i puntini.

Si può assumere come variabile casuale semplice, la funzione $X$ da $\Omega$ in $R$ che a ciascun punto dello spazio (le facce del dado) associa i numeri che le contraddinstinguono; in simboli:

$X\left (i\right ) = i$

con $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ e dove il dominio della funzione $X$ è dato dai punti dello spazio campionario $\Omega$ , mentre il supporto (o rango) della funzione, cioè l’insieme dei valori assunti dalla variabile casuale semplice, è dato da $1, 2, 3, 4, 5\;\mbox{e}\;6$ ; in simboli:

$S_X := \left \{1, 2, 3, 4, 5, 6\right \}$

$Dom\left (X\right ) := \Omega := \left \{\mbox{le facce del dado}\right \}$

In parole povere, alla faccia contrassegnata da $1$ associa il reale $1$ , alla faccia contrassegnata con il $2$ associa il reale $2$ , etc.

Dalle considerazioni e dagli esempi esposti finora, appare evidente il fatto che, qualora si voglia identificare una variabile casuale è necessario determinare due cose:

l’insieme dei valori che la variabile casuale può assumere
il modo in cui la probabilità si distribuisce su questi valori

Per quanto riguarda il primo punto, i valori che la variabile casuale semplice può assumere, cambiano da caso a caso. In generale è comunque possibile classificare le variabili aleatorie unidimensionali in due tipi:

Discrete – se il rango (o il supporto) della funzione è un insieme con cardinalità finita o infinita numerabile, cioè, se l’insieme dei valori che la variabile casuale semplice può assumere è un insieme costituito da un numero finito o infinito numerabile di numeri reali
Continue – se il rango (o il supporto) della funzione è un insieme con cardinalità infinita non numerabile, cioè, se l’insieme dei valori che la variabile casuale semplice può assumere è un insieme costituito da un numero infinito non numerabile di numeri reali

Per quanto concerne il secondo punto, invece, è possibile determinare il modo in cui la probabilità si distribuisce sui valori che la variabile casuale può assumere, in tre diversi modi:

la funzione di distribuzione (o di ripartizione o delle probabilità cumulate) – definita sia per le variabili casuali discrete che per le continue
la funzione di massa (di probabilità) – definita solo per le variabili casuali discrete
la funzione di densità (di probabilità) – definita solo per le variabili casuali continue

Lo studio di queste funzioni verrà fatto nelle lezioni successive…

Tag: Variabile Casuale Continua, Variabile Casuale Discreta, Variabile Casuale Semplice

Questo post è stato pubblicato il Febbraio 23, 2009 alle 17:49 ed è archiviato in Università. Segui i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

2 Risposte a “Probabilità – Lez012 (teoria ed esempi semplici)”

l1nvx Dice:
Febbraio 23, 2009 alle 17:55 | Fare il login per replicare
Dato che ho un po’ di tempo libero, aggiorno il blog con questo “nuovo” post. L’esame ormai è bello che dato, ma visto che manca la parte sulle v.c. discrete e continue, provo ad esaurire l’argomento prima di passare ad un’altra materia.
p4cm4n Dice:
Luglio 5, 2009 alle 11:20 | Fare il login per replicare
…aggiornate tutte le formule in LaTeX.

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