Probabilità – Lez07 (teoria ed esempi semplici)

By l1nvx

Definizione Assiomatica: è la funzione che ad ogni elemento dello spazio degli eventi (o insieme delle parti di $\Omega$ ) associa uno ed un solo numero reale compreso tra zero ed uno. In simboli, $\forall E \in P\left (\Omega\right )$ :

$P\left (E\right ): P\left (\Omega\right ) \to \left [0,1\right ]$

Attenzione: si ribadisce, ancora una volta, il fatto che l’insieme delle parti di $\Omega$ (o spazio degli eventi) non deve essere assolutamente confuso con il concetto di probabilità dell’evento certo, sebbene l’uso (in queste pagine) della medesima simbologia.

per la quale (funzione) siano veri i seguenti postulati:

1. la probabilità che un qualunque evento $E$ appartenente all’insieme delle parti di $\Omega$ si realizzi, è maggiore uguale a zero; in simboli, $\forall E \in P\left (\Omega\right )$ :

$P\left (E\right ) \ge \; 0$

2. la probabilità dell’evento certo è pari all’unità; in simboli, $\forall \Omega \in P\left (\Omega\right )$ :

$P\left (\Omega\right ) = 1$

3. il principio delle probabilità totali per eventi incompatibili: dati n eventi incompatibili tali cioè che la loro intersezione è impossibile a due a due (in simboli: $E_i \cap E_j = \varnothing, \forall E_i, E_j \in P\left (\Omega\right )$ e con $i \ne j$ ), la probabilità della loro unione è pari alla somma delle singole probabilità marginali*; in simboli, $\forall E_i \in P\left (\Omega\right )$ :

$P\left (\cup_{i = 1}^nE_i\right ) = \sum_{i = 1}^nP\left (E_i\right )$

Dalla definizione assiomatica di probabilità seguono alcune proprietà fondamentali:

La regola dell’evento complementare: la probabilità del negato di un evento $E$ appartenente all’insieme delle parti di di $\Omega$ , è uguale alla differenza tra la probabilità dell’evento certo (pari all’unità) e la probabilità dell’evento $E$ stesso; in simboli, $\forall E, \Omega \in P\left (\Omega\right )$ :

$P\left (\overline{E}\right ) = 1 - P\left (E\right )$

Verifica: dalla teoria si sa che dato un evento $E$ appartenente all’insieme delle parti di $\Omega$ , l’unione di questo evento e del suo negato è pari all’evento certo; in simboli $\forall E, \Omega \in P\left (\Omega\right )$ :

Eventi Esaustivi ed Incompatibili

$E \cup \overline{E} = \Omega$

cioè i due eventi sono esaustivi.

La probabilità della unione di questi due è pertanto uguale alla probabilità dell’evento certo; in simboli:

$P\left (E \cup \overline{E}\right ) = P\left (\Omega\right )$

In questo caso specifico, però, si ha a che fare con eventi anche mutualmente esclusivi (tali cioè che $E \cap \overline{E} = \varnothing$ ) quindi, applicando il principio delle probabilità totali per eventi incompatibili, si ottiene che la probabilità della unione dei due eventi è pari alla somma delle singole probabilità marginali; in simboli:

$P\left (E \cup \overline{E}\right ) = P\left (E\right ) + P\left (\overline{E}\right ) = P\left (\Omega\right )$

Inoltre, per il secondo postulato fondamentale della definizione assiomatica di probabilità, la probabilità dell’evento certo è pari all’unità, in simboli

$P\left (\Omega\right ) = 1$

allora

$P\left (E\right ) + P\left (\overline{E}\right ) = 1$

La probabilità dell’evento impossibile è nulla; in simboli, $\forall \varnothing \in P\left (\Omega\right )$ :

$P\left (\varnothing\right ) = 0$

Verifica: dalla teoria si sa che il complementare dell’evento impossibile è uguale all’evento certo; in simboli, $\forall \varnothing, \Omega \in P\left (\Omega\right )$

$\overline{\varnothing} = \Omega$

Applicando la regola dell’evento complementare vista sopra:

$P\left (\varnothing\right ) = 1 - P\left (\Omega\right )$

Sapendo inoltre che, per il secondo postulato fondamentale della definizione assiomatica di probabilità, la probabilità dell’evento certo è pari all’unità, si ha che, in simboli:

$P\left (\Omega\right ) = 1 - P\left (\Omega\right ) = 1 - 1 = 0$

La probabilità di un evento $E$ appartenente all’insieme delle parti di di $\Omega$ , è minore o uguale all’unità; in simboli, $\forall E \in P\left (\Omega\right )$ :

$P\left (E\right ) \le \; 1$

Verifica: applicando la regola dell’evento complementare si ottiene che la probabilità di E è pari alla differenza tra l’unità ed il suo negato; in simboli:

$P\left (E\right ) = 1 - P\left (\overline{E}\right )$

Per il primo postulato della definizione assiomatica, la probabilità di un qualunque evento è sempre maggiore o uguale a zero, pertanto, questa conclusione vale anche per la probabilità del complementare di E; in simboli:

$P\left (\overline{E}\right ) \ge 0$

Segue che la probabilità di E deve essere necessariamente minore o uguale all’unità.

Regola di monotonia: dati due eventi $E_1, E_2$ tali che il primo è incluso propriamente nel secondo, questo implica che la probabilità di $E_1$ è minore o uguale della probabilità di $E_2$ ; in simboli, $\forall E_1, E_2 \in P\left (\Omega\right )$ :

$E_1 \subseteq E_2 \to P\left (E_1\right ) \le \; P\left (E_2\right )$

Un’altro risultato della definizione assiomatica di probabilità è la regola della somma (o regola additiva).

Regola della somma: dati $n$ eventi compatibili tali cioè che la loro intersezione a due a due è non impossibile (in simboli: $E_i \cap E_j \ne \varnothing, \forall E_i, E_j \in P\left (\Omega\right )$ e con $i \ne j$ ), la probabilità della loro unione è pari alla somma delle singole probabilità marginali a meno delle corrispondenti probabilità congiunte*; in simboli, $\forall E_i \in P\left (\Omega\right )$ :

$P\left (\cup_{i = 1}^nE_i\right ) = \sum_{i = 1}^nP\left (E_i\right ) - \sum_{i \ne j = 1}^nP\left (E_i \cap E_j\right ) + \sum_{i \ne j \ne k = 1}^nP\left (E_i \cap E_j \cap E_k\right ) - \ldots, + \left (-1\right )^{n + 1}P\left (\cap_{i = 1}^nE_i\right )$

ATTENZIONE: la formula sopraindicata è stata spezzata per esigenze di spazio.

N.B.: la regola della somma non è altro che l’applicazione in campo probabilistico del teorema di inclusione/esclusione o del crivello della Teoria degli Insiemi.

Quest’ultima regola in pratica raccoglie tutti i casi non contemplati dal principio delle probabilità totali per eventi incompatibili e non a caso, viene definita anche principio delle probabilità totali per eventi compatibili. Alla luce delle seguenti considerazioni, uno schema che può aiutare alla memorizzazione è il seguente:

Principio delle probabilità totali

Verifica: si prova ora a dare una dimostrazione della regola della somma per due eventi compatibili $E_1, E_2$ appartenenti all’insieme delle parti di $\Omega$ : in simboli, $\forall E_1, E_2 \in P\left (\Omega\right )$ :

$P\left (E_1 \cup E_2\right ) = P\left (E_1\right ) + P\left (E_2\right ) - P\left (E_1 \cap E_2 \right )$

Si consideri l’unione dei due eventi $E_1, E_2$ ; questa può anche essere vista come l’unione di tre eventi incompatibili; in simboli:

$E_1 \cup E_2 = \left (E_1 \cap \overline{E_2}\right ) \cup \left (E_1 \cap E_2\right ) \cup \left (\overline{E_1} \cap E_2\right )$

L'unione di 2 eventi come l'unione di 3 eventi incompatibili

ATTENZIONE: per esigenze di spazio la formula sopraindicata è stata spezzata.

Dato che si tratta della unione di tre eventi mutualmente esclusivi, è possibile applicare il principio delle probabilità totali per eventi incompatibili, ottenendo che la probabilità della unione è pari alla somma delle singole probabilità marginali; in simboli:

$P\left (E_1 \cup E_2 \right ) = P\left (E_1 \cap \overline{E_2}\right ) + P\left (E_1 \cap E_2\right ) + P\left (\overline{E_1} \cap E_2\right )$

Stesso discorso può essere fatto per l’evento $E_1\;\mbox{ed}\;E_2$ ; in simboli:

Evento 1

$E_1 = \left (E_1 \cap \overline{E_2}\right ) \cup \left (E_1 \cap E_2\right )$

$E_2 = \left (E_1 \cap E_2\right ) + \left (\overline{E_1} \cap E_2\right )$

cioè, entrambi possono essere visti come l’unione di due eventi incompatibili; poi, applicando il terzo postulato della definizione assiomatica di probabilità:

$P\left (E_1\right ) = P\left (E_1 \cap \overline{E_2}\right ) + P\left (E_1 \cap E_2\right )$

$P\left (E_2\right ) = P\left (E_1 \cap E_2\right ) + P\left (\overline{E_1} \cap E_2\right )$

Sommando membro a membro si ottiene:

$P\left (E_1\right ) + P\left (E_2\right ) = P\left (E_1 \cap \overline{E_2}\right ) + P\left (\overline{E_1} \cap E_2\right ) + 2P\left (E_1 \cap E_2 \right )$

Evento 2

ATTENZIONE: per esigenze di spazio la formula sopraindicata è stata spezzata.

ed infine, confrontando (sottraendo membro a membro) quest’ultima formula a quella trovata precedentemente, si ottiene quella cercata:
$P\left (E_1 \cup E_2\right ) = P\left (E_1\right ) + P\left (E_2\right ) - P\left (E_1 \cap E_2\right )$

* la probabilità che si verifichi un evento semplice; in simboli, $\forall E \in P\left (\Omega\right ): P\left (E\right )$
** la probabilità che si verifichino contemporaneamente due o più eventi; in simboli, $\forall E_1, E_2 \in P\left (\Omega\right ): P\left (E_1 \cap E_2\right )$

Tag: Definizione Assiomatica, Probabilità

Questo post è stato pubblicato il Dicembre 2, 2008 alle 14:40 ed è archiviato in Università. Segui i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

3 Risposte a “Probabilità – Lez07 (teoria ed esempi semplici)”

l1nvx Dice:
Giugno 15, 2009 alle 16:35 | Fare il login per replicare
Aggiunte due proprietà derivanti la definizione assiomatica, visto il loro utilizzo in dimostrazioni successive.
p4cm4n Dice:
Luglio 1, 2009 alle 11:12 | Fare il login per replicare
…aggiornate tutte le formule in LaTeX.
p4cm4n Dice:
Luglio 4, 2009 alle 02:40 | Fare il login per replicare
Aggiunta la verifica della proprietà secondo la quale la probabilità di un evento è sempre minore o uguale all’unità

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